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反雙曲正切

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反雙曲正切 tanh^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 481; Beyer 1987, p. 181)，有時稱為面積雙曲正切 (Harris and Stocker 1998, p. 267)，是 多值函式，它是 反函式 雙曲正切 的反函式。

該函式有時表示為 arctanhz (Jeffrey 2000, p. 124) 或 Arthz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxx)。 變體 Arctanhz 或 Artanhz (Harris and Stocker 1998, p. 263) 有時用於指代反雙曲正切的顯式 主值，儘管這種區分並非總是做出。 更糟糕的是，符號 arctanhz 有時用於主值，而 Arctanhz 用於多值函式 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87)。 請注意，在符號 tanh^(-1)z 中，tanhz 是 雙曲正切，而上標 -1 表示 反函式，不是乘法逆元。

反雙曲正切的 主值 在 Wolfram 語言 中實現為ArcTanh[z]，在 GNU C 庫中實現為atanh(double x)。

InverseHyperbolicTangentBranchCut

反雙曲正切是 多值函式，因此需要在 複平面 中進行 分支切割，Wolfram 語言 的約定將其放置線上段 (-infty,-1] 和 [1,infty) 處。 這遵循 tanh^(-1)z 的定義，即

tanh^(-1)z=1/2[ln(1+z)-ln(1-z)].
(1)

反雙曲正切用 反正切 表示為

tanh^(-1)z=1/itan^(-1)(iz)
(2)

(Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxx)。 對於實數 x<1，這簡化為

tanh^(-1)x=1/2ln((1+x)/(1-x)).
(3)

反雙曲正切的 導數 為

d/(dz)tanh^(-1)z=1/(1-z^2),
(4)

而 不定積分 為

inttanh^(-1)zdz=ztanh^(-1)z+1/2ln(z^2-1)+C.
(5)

它具有特殊值

tanh^(-1)0=0
(6)
tanh^(-1)1=infty
(7)
tanh^(-1)infty=-1/2pii
(8)
tanh^(-1)i=1/4pii.
(9)

它具有麥克勞林級數

tanh^(-1)z=sum_(n=1)^(infty)(z^(2n-1))/(2n-1)
(10)
=z+1/3z^3+1/5z^5+1/7z^7+1/9z^9+...
(11)
tanh^(-1)z=-1/2pii+sum_(n=1)^(infty)(z^(-2n+1))/(2n-1)
(12)
=-1/2pii+z+1/3z^3+1/5z^5+1/7z^7+...
(13)

(OEIS A005408)。

涉及 tanh^(-1)z 的 不定積分 由下式給出

int(dx)/(xsqrt(a+bx))=ln[(sqrt(a+bx)-sqrt(a))/(sqrt(a+bx)+sqrt(a))]
(14)
=ln[((sqrt(a+bx)-sqrt(a))^2)/((a+bx)-a)]
(15)
=ln[((2a+bx)-2sqrt(a(a+bx)))/(bx)]
(16)
=2tanh^(-1)(-sqrt(a/(a+bx)))
(17)

當 a>0 時。

另請參閱

雙曲正切, 反雙曲餘切, 反雙曲函式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcTanh/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編)。 "反雙曲函式。" 《數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格》，第 9 版，§4.6。 紐約：Dover，pp. 86-89，1972。Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143，1987。GNU C Library. "數學：反三角函式。" http://www.gnu.org/manual/glibc-2.2.3/html_chapter/libc_19.html#SEC391。Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 積分表、級數表和乘積表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. xxx，2000。Harris, J. W. 和 Stocker, H. 數學和計算科學手冊。 紐約：Springer-Verlag，1998。Jeffrey, A. "反三角函式和雙曲函式。" 《數學公式和積分手冊》，第 2 版，§2.7。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128，2000。Sloane, N. J. A. 序列 A005408/M2400，收錄於“整數序列線上百科全書”。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "反三角函式。" 《函式圖集》，第 35 章。 Washington, DC: Hemisphere，pp. 331-341，1987。Zwillinger, D. (編)。 "反雙曲函式。" 《CRC 標準數學表格和公式》，§6.8。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 481-483，1995。

在 中引用

反雙曲正切

請引用為

Weisstein, Eric W. "反雙曲正切。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseHyperbolicTangent.html

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