黎曼曲面

黎曼曲面是一種類似曲面的結構，它覆蓋了具有若干個，通常是無限多個“層”的複平面。這些層可以具有非常複雜的結構和相互連線（Knopp 1996，第 98-99 頁）。黎曼曲面是表示多值函式的一種方式；另一種是分支切割。上面的圖示顯示了方程解的黎曼曲面

其中 、3、4 和 5，其中 是 Lambert W 函式 (M. Trott)。

函式域 的黎曼曲面 是 上非平凡離散賦值的集合。這裡，集合 對應於 在 上的整數環 的理想。（ 由 的元素組成，這些元素是 上首一多項式的根。）黎曼曲面提供了函式元素及其解析延拓的幾何視覺化。

施瓦茨在十九世紀末證明了虧格 的緊黎曼曲面的自同構群是有限的，而 Hurwitz（1893）隨後證明了其階數最多為 （Arbarello 等，1985，第 45-47 頁；Karcher 和 Weber 1999，第 9 頁）。對於無限多個 ，可以達到這個界限，其中這種極值曲面的最小 為 3（對應於克萊因四次曲線）。然而，也已知存在無限多個虧格，對於這些虧格，界限 未達到（Belolipetsky 1997，Belolipetsky 和 Jones）。