Lambert W 函式

Lambert -函式，也稱為 omega 函式，是反函式，其原函式為：

(1)

上圖顯示了該函式在實軸上的影像。Lambert -函式的主值在 Wolfram 語言中實現為ProductLog[z]。該函式的不同分支在 Wolfram 語言中可用，表示為ProductLog[k, z]，其中是任意整數，對應於主值。雖然未記錄在案，LambertW[k, z] 自動求值為ProductLog[k, z] 在 Wolfram 語言中。

Lambert (1758) 考慮了以下方程的解

(2)

現在被稱為蘭伯特超越方程。1764 年，當蘭伯特從蘇黎世搬到柏林時，尤拉聽說了蘭伯特的論文。在 1770/1771 年關於一些相關級數展開優先權的私人爭論之後，尤拉 (1783) 寫了一篇關於蘭伯特超越方程的論文，其中他介紹了一個特殊情況，簡化為，這幾乎是的定義，儘管尤拉建議定義的函式更像。尤拉在這篇論文中考慮了級數解，並在第一段明確引用蘭伯特是第一個考慮這個方程的人。

Eisenstein (1844) 考慮了無窮冪塔的級數

(3)

它可以表示為閉合形式：

(4)

Pólya 和 Szegö (1925) 是第一個使用符號表示蘭伯特函式的人。

Banwell 和 Jayakumar (2000) 表明，-函式描述了二極體中電壓、電流和電阻之間的關係，Packel 和 Yuen (2004) 將 -函式應用於存在空氣阻力的彈道射彈。在統計力學、量子化學、組合數學、酶動力學、視覺生理學、薄膜工程、水文學和演算法分析中也發現了其他應用 (Hayes 2005)。

	最小值	最大值
實部
虛部

上圖顯示了複平面中的 Lambert -函式。

上圖顯示了在複平面上的解析延拓的實部（左）和虛部（右）（M. Trott，私人通訊）。

當的時，為實數。它具有以下特殊值：

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

(OEIS A030178) 稱為 omega 常數，可以被認為是指數的某種“黃金比例”，因為

(9)

給出

(10)

Lambert -函式服從以下恆等式：

(11)

（R. Corless 給 O. Marichev 的私人通訊，2015 年 9 月 29 日）。

	最小值	最大值
實部
虛部

函式在複平面中具有非常複雜的結構，但對於以及實軸上方和下方略微擴充套件的區域，它簡單地等於 1。

Lambert -函式具有以下級數展開式：

			(12)
			(13)

拉格朗日反演定理給出了等價的級數展開式：

(14)

其中是一個階乘。然而，對於實數，此級數在越來越大的正值和負值之間振盪，因此不能用於實際的數值計算。

對於，一個漸近公式可以產生相當精確的結果：

			(15)
			(16)

其中

			(17)
			(18)

（Corless et al. 1996），糾正了 de Bruijn (1981) 中的一個印刷錯誤。Gosper (私人通訊，1996 年 7 月 22 日) 的另一個展開式是雙重級數：

$W(x)=a+sum_(n=0)^infty{sum_(k=0)^n(S_1(n,k))/([ln(x/a)-a]^(k-1)(n-k+1)!)}[1-(ln(x/a))/a]^n,$

(19)

其中是非負第一類斯特林數，是可以用於在分支之間進行選擇的第一個近似值。對於，Lambert -函式是雙值的。對於，該函式表示為或簡稱為，這稱為主分支。對於，該函式表示為。的導數為

			(20)
			(21)

對於。對於時的主分支，

(22)

Lambert -函式的第階導數由下式給出：

(23)

其中是數三角形

1
-2 -1
9 8 2
-64 -79 -36 -6
625 974 622 192 24

(24)

（OEIS A042977）。這具有指數生成函式：

			(25)
			(26)

另請參閱

Abel 多項式, 位移常數, 蘭伯特超越方程, Omega 常數, 冪塔

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Banwell, T. C. and Jayakumar, A. "Exact Analytical Solution for Current Flow Through Diode with Series Resistance." Electronics Lett. 36, 291-292, 2000.Barry, D. J., Culligen-Hensley, P. J.; and Barry, S. J. "Real Values of the

Function." ACM Trans. Math. Software 21, 161-171, 1995.Borwein, J. M. and Corless, R. M. "Emerging Tools for Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 106, 899-909, 1999.Briggs, K. "

-ology, or, Some Exactly Solvable Growth Models." http://keithbriggs.info/W-ology.html.Briggs, K. "Graph Theory and Lambert's

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Function." (Ed. W. W. Küchlin). New York: ACM, pp. 197-204, 1997. http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/.Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; and Knuth, D. E. "On the Lambert

Function." Adv. Comput. Math. 5, 329-359, 1996.Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; and Jeffrey, D. J. "Lambert's

Function in Maple." Maple Technical Newsletter 9, 12-22, Spring 1993.Corless, R. M. and Jeffrey, D. J. "The Wright

Function." In Artificial Intelligence, Automated Reasoning, and Symbolic Computation (Ed. J. Calmet, B. Benhamou, O. Caprotti, L. Henocque and V. Sorge). Berlin: Springer-Verlag, pp. 76-89, 2002.Corless, R. M.; Jeffrey, D. J.; and Knuth, D. E. "A Sequence of Series for the Lambert

Function." In Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Maui, Hawaii. New York: ACM Press, pp. 197-204, 1997.de Bruijn, N. G. Asymptotic Methods in Analysis. New York: Dover, pp. 27-28, 1981.Eisenstein, G. "Entwicklung von

." J. reine angew. Math. 28, 49-52, 1844.Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29-51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350-369, 1921.Fritsch, F. N.; Shafer, R. E.; and Crowley, W. P. "Algorithm 443: Solution of the Transcendental Equation

." Comm. ACM 16, 123-124, 1973.Gosper, R. W. Jr. "The Solutions of

and

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Function." Math. Scientist 21, 1-7, 1996.Jeffrey, D. J.; Hare, D. E. G.; and Corless, R. M. "Exact Rational Solutions of a Transcendental Equation." C. R. Math. Acad. Sci. Canada 20, 71-76, 1998.Jeffrey, D. J.; Corless, R. M.; Hare, D. E. G.; and Knuth, D. E. "Sur l'inversion de

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Function to Physics." Canad. J. Phys. 78, 823-831, 2000.Wright, E. M. "Solution of the Equation

." Bull. Amer. Math. Soc. 65, 89-93, 1959.

在上引用

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Weisstein, Eric W. "Lambert W 函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LambertW-Function.html

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