矩陣對角化

矩陣對角化是將一個方陣轉換為一種特殊型別的矩陣——所謂的對角矩陣——的過程，這種對角矩陣與原始矩陣共享相同的基本屬性。矩陣對角化等價於將底層的方程組轉換為一組特殊的座標軸，在這些座標軸中，矩陣呈現這種規範形式。對角化一個矩陣也等價於找到矩陣的特徵值，這些特徵值恰好是對角化矩陣的條目。類似地，特徵向量構成了對應於對角矩陣的新座標軸。

對角化矩陣、特徵值和特徵向量之間非凡的關係源於美麗的數學恆等式（特徵分解），即一個方陣 可以被分解成非常特殊的形式

(1)

其中 是由 的特徵向量組成的矩陣， 是由相應的特徵值構建的對角矩陣，而 是 的矩陣逆。根據特徵分解定理，一個初始的矩陣方程

(2)

總是可以寫成

(3)

（至少只要 是一個方陣），並且兩邊左乘 得到

(4)

由於相同的線性變換 同時應用於 和 ，因此求解原始系統等價於求解變換後的系統

(5)

其中 且 。這提供了一種將系統規範化為最簡單形式的方法，將任意矩陣的引數數量從 減少到對角矩陣的 ，並獲得初始矩陣的特徵屬性。這種方法在物理學和工程學中經常出現，這項技術經常被使用並且非常強大。