矩陣方程

非齊次矩陣方程 形式為

(1)

可以透過取矩陣逆來求解，得到

(2)

當且僅當當且僅當行列式 不等於 0 時，此方程有非平凡解。一般來說，更數值穩定的方程求解技術包括高斯消元法、LU 分解或平方根法。

對於齊次 矩陣 方程

(3)

為了求解 s，考慮行列式

(4)

現在乘以 ，這等價於將第一列（或任何列）乘以 ,

(5)

如果將列的倍數加到其他列，行列式的值不變。 因此，將第 2 列乘以 ，...，將第 列乘以 加到第一列，得到

(6)

但是從原始矩陣中，第一列中的每個條目都為零，因為

(7)

所以

(8)

因此，如果存在一個非零解 ，則行列式為零。 這對於 , ..., 也是如此，因此，僅當行列式為 0 時，原始齊次系統才對所有 s 有非平凡解。 這種方法是克萊姆法則的基礎。

給定矩陣方程的數值解，可以使用以下技術迭代改進解。 假設數值獲得的解為

(9)

是 ，其中 是誤差項。 因此，第一個解給出

(10)

(11)

其中 透過求解 (10) 得到

(12)

結合 (11) 和 (12) 然後得到

(13)