特徵向量

特徵向量是與線性方程組（即矩陣方程）相關聯的一組特殊向量，有時也稱為特徵向量、本徵向量或潛在向量（Marcus and Minc 1988, p. 144）。

在物理學和工程學中，確定系統的特徵向量和特徵值極其重要，它等同於矩陣對角化，並出現在諸如穩定性分析、旋轉物體的物理學和振動系統的小振盪等常見應用中，僅舉幾例。每個特徵向量都與一個相應的所謂特徵值配對。在數學上，需要區分兩種不同的特徵向量：左特徵向量和右特徵向量。然而，對於物理學和工程學中的許多問題，僅考慮右特徵向量就足夠了。因此，在這些應用中，未經限定使用的術語“特徵向量”可以理解為指右特徵向量。

將方陣 分解為特徵值和特徵向量在本工作中稱為特徵分解，而只要由 的特徵向量組成的矩陣是方陣，這種分解總是可能的這一事實被稱為特徵分解定理。

將右特徵向量定義為滿足以下條件的列向量

其中 是一個矩陣，因此

這意味著右特徵值必須具有零行列式，即，

類似地，將左特徵向量定義為滿足以下條件的行向量

對每一邊取轉置得到

這可以重寫為

再次重新排列得到

這意味著

重寫得到

其中最後一步來自恆等式

等式 (◇) 和 (11) 都等於 0 對於任意 和 ，因此要求 ，即，左右特徵值是等價的，但對於特徵向量來說，這個陳述是不成立的。

設 是由右特徵向量的列形成的矩陣， 是由左特徵向量的行形成的矩陣。設

那麼

並且

因此

但是這個方程的形式是

其中 是對角矩陣，因此 C= 也必須是對角矩陣。特別地，如果 是對稱矩陣，則左右特徵向量只是彼此的轉置，如果 是自伴矩陣（即，它是埃爾米特矩陣），則左右特徵向量是伴隨矩陣。

特徵向量可能不等於零向量。特徵向量的非零標量倍數等價於原始特徵向量。因此，在不失一般性的前提下，特徵向量通常被歸一化為單位長度。

雖然一個 矩陣總是具有 個特徵值，其中一些或全部可能是退化的，但這樣的矩陣可能具有 0 到 個線性獨立的特徵向量。例如，矩陣 只有一個特徵向量 。

可以使用 Wolfram 語言計算特徵向量，方法是使用Eigenvectors[matrix]。此命令始終返回長度為 的列表，因此任何線性不獨立的特徵向量都將作為零向量返回。可以使用以下命令一起返回特徵向量和特徵值Eigensystem[matrix]。

給定一個 矩陣 ，其特徵向量為 、 和 ，相應的特徵值為 、 和 ，則任意向量 可以寫成

應用矩陣 ，

因此

如果 ，且 ，則因此得出

因此，將矩陣重複應用於任意向量，驚人地會得到一個與具有最大特徵值的特徵向量成比例的向量。