奇異值分解

如果矩陣 具有一個不可逆的特徵向量矩陣 （例如，矩陣 具有不可逆的特徵向量系統 ），則 沒有特徵分解。然而，如果 是一個 實矩陣，且 ，那麼 可以用所謂的奇異值分解 的形式 表示

(1)

請注意，文獻中使用了幾種相互衝突的符號約定。Press 等人 (1992) 將 定義為 矩陣， 為 矩陣， 為 矩陣。然而，Wolfram 語言 將 定義為 矩陣， 為 矩陣， 為 矩陣。在這兩種系統中， 和 都具有 正交 列，因此

(2)

並且

(3)

（其中兩個單位矩陣可能具有不同的維度），並且 的項僅沿對角線分佈。

對於復矩陣 ，奇異值分解是一種分解為以下形式的分解

(4)

其中 和 是 酉矩陣， 是 的 共軛轉置，D 是一個 對角矩陣，其元素是原始矩陣的 奇異值。如果 是一個 復矩陣，那麼總是存在這樣的分解，且奇異值為正值 (Golub and Van Loan 1996, pp. 70 and 73)。

奇異值分解在 Wolfram 語言 中實現為SingularValueDecomposition[m]，它返回一個列表 U, D, V，其中 U 和 V 是矩陣，D 是由 m 的奇異值組成的對角矩陣。