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共軛轉置

一個 m×n 矩陣 A 的共軛轉置是 n×m 矩陣，定義為

A^(H)=A^_^(T),
(1)

其中 A^(T) 表示矩陣 A 的轉置，而 A^_ 表示共軛矩陣。在所有常見空間（即，可分的希爾伯特空間）中，共軛和轉置運算是可交換的，因此

A^(H)=A^_^(T)=A^(T)^_.
(2)

符號 A^(H) （其中 “H” 代表 “Hermitian”）正式承認了對於復矩陣來說，幾乎總是出現取轉置和複共軛的組合運算，而在物理或計算上下文中，幾乎從不單獨出現轉置 (Strang 1988, pp. 220-221)。

矩陣 A 的共軛轉置在 Wolfram 語言中實現為ConjugateTranspose[A].

共軛轉置也稱為伴隨矩陣、附加矩陣、埃爾米特伴隨或埃爾米特轉置（Strang 1988, p. 221）。不幸的是，幾種不同的符號在使用中，如下表總結所示。雖然符號 A^| 在量子場論中被普遍使用，但 A^(H) 線上性代數中被常用。請注意，由於 A^* 有時用於表示複共軛，因此必須特別注意不要混淆來自不同來源的符號。

符號參考
A^(H)本文; Golub and van Loan (1996, p. 14), Strang (1988, p. 220)
A^*Courant and Hilbert (1989, p. 9), Lancaster and Tismenetsky (1984), Meyer (2000)
A^|Arfken (1985, p. 210), Weinberg (1995, p. xxv)

如果一個 矩陣 等於其自身的共軛轉置，則稱其為自伴的，並稱為 埃爾米特矩陣。

矩陣乘積的共軛轉置由下式給出

(ab)_(ij)^H=[(ab)^(T)^_]_(ij).
(3)

使用轉置乘積的恆等式給出

((ab)^(T)^_)_(ij)=(b^(T)a^(T)^_)_(ij)
(4)
=b_(ik)^Ta_(kj)^T^_
(5)
=(b^(T)^_)_(ik)(a^(T)^_)_(kj)
(6)
=b_(ik)^Ha_(kj)^H
(7)
=(b^(H)a^(H))_(ij),
(8)

其中愛因斯坦求和已在此處用於對重複索引求和，由此得出

(AB)^(H)=B^(H)A^(H).
(9)

另請參閱

伴隨, 複共軛, 共軛矩陣, Dagger, 埃爾米特矩陣, Schur 分解, 自伴矩陣, 轉置

使用 探索

參考資料

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 210, 1985.Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 49, 1962.Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.Golub, G. H. and Van Loan, C. F. Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, p. 14, 1996.Lancaster, P. and Tismenetsky, M. The Theory of Matrices, with Applications, 2nd ed. New York: Academic Press, 1984.Meyer, C. D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Philadelphia, PA: SIAM, 2000.Strang, G. Linear Algebra and its Applications, 3rd ed. Philadelphia, PA: Saunders, 1988.Strang, G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1993.Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1995.

在 中被引用

共軛轉置

請引用為

Weisstein, Eric W. “共軛轉置。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ConjugateTranspose.html

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