正定二次型

一個 二次型 被稱為是正定的，如果對於 ，。一個 實 變數的 二次型 是正定的，當且僅當 它的規範形式是

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一個 二元二次型

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的兩個 實 變數是正定的，如果對於任何 ，它都 ，因此如果 且 二元二次型判別式 。一個 二元二次型 是正定的，如果存在 非零 的 和 使得

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(Le Lionnais 1983)。

正定二次型

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被稱為是簡化的，如果 ，，且如果 或 ，則 。在 一般線性群 的作用下，即在座標 的線性變換集合下，其中係數為整數且行列式為 ，存在一個唯一的簡化正定二元二次型等價於任何給定的一個。

在 基本判別式 的簡化二次型集合與具有判別式 的唯一 二次域 的 分式理想 類集合之間存在 一一對應。令 為具有 基本判別式 的簡化正定二元二次型，並考慮對映 ，它將形式 對映到包含 理想 的理想類。那麼這個對映是一一對應的且是滿射。因此，虛二次域 的 類數 等於判別式為 的簡化二元二次型的數量，這可以透過系統地構造判別式為 的所有二元二次型，並遍歷係數 和 來輕鬆計算。第三個係數 然後由 、 和 確定。

一個 二次型 是正定的，當且僅當 的每個 特徵值 都是 正 的。一個 二次型 ，其中 是一個 埃爾米特矩陣，是正定的，如果 的左上角的所有主子式都是 正 的，換句話說

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