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二次型

一個涉及 n 個實變數 x_1, x_2, ..., x_n 與 n×n 矩陣 A=a_(ij) 相關的二次型由下式給出

Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_(ij)x_ix_j,
(1)

其中使用了愛因斯坦求和約定。令 x 為由 x_1, ..., x_n 組成的向量，x^(T) 為轉置，則

Q(x)=x^(T)Ax,
(2)

等價於

Q(x)=<x,Ax>
(3)

在內積表示法中。二元二次型是兩個變數的二次型，形式如下

Q(x,y)=a_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2.
(4)

總是可以將任意二次型

Q(x)=alpha_(ij)x_ix_j
(5)

表示為以下形式

Q(x)=(x,Ax),
(6)

其中 A=a_(ii) 是由下式給出的對稱矩陣

a_(ij)={alpha_(ii) i=j; 1/2(alpha_(ij)+alpha_(ji)) i!=j.
(7)

任何 n 個變數的實二次型都可以透過適當的正交點變換簡化為對角形式

Q(x)=lambda_1x_1^2+lambda_2x_2^2+...+lambda_nx_n^2
(8)

透過適當的正交點變換得到 lambda_1>=lambda_2>=...>=lambda_n。此外，兩個實二次型線上性變換群下等價，當且僅當它們具有相同的二次型秩和二次型符號。

另請參閱

不連通型, 不定二次型, 內積, 整數矩陣型, 正定二次型, 半正定二次型, 二次的, 二次型秩, 二次型符號, 西爾維斯特慣性定律, 對稱二次型

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參考文獻

Bayer-Fluckinger, E.; Lewis, D.; and Ranicki, A. (編.). Quadratic Forms and Their Applications: Proceedings of the Conference on Quadratic Forms and Their Applications, July 5-9, 1999, University College, Dublin. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Buell, D. A. Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations. New York:Springer-Verlag, 1989.Conway, J. H. and Fung, F. Y. The Sensual (Quadratic) Form. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1997.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1104-106, 2000.Kitaoka, Y. Arithmetic of Quadratic Forms. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Lam, T. Y. The Algebraic Theory of Quadratic Forms. Reading, MA: W. A. Benjamin, 1973.Weisstein, E. W. "Books about Quadratic Forms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/QuadraticForms.html.

在 上被引用

二次型

請引用為

Weisstein, Eric W. "Quadratic Form." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/QuadraticForm.html

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