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二次域

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形如 代數整數 的形式 a+bsqrt(D)，其中 D 是 無平方因子 的數，構成一個二次域，記為 Q(sqrt(D))。如果 D>0，則該域稱為實二次域；如果 D<0，則該域稱為虛二次域。Q(sqrt(1)) 中的整數簡稱為“整數”。Q(sqrt(-1)) 中的整數稱為 高斯整數，而 Q(sqrt(-3)) 中的整數稱為 艾森斯坦整數。任意二次域中的代數整數不一定具有唯一的因子分解。例如，域 Q(sqrt(-5)) 和 Q(sqrt(-6)) 不是唯一可分解的，因為

21=3·7=(1+2sqrt(-5))(1-2sqrt(-5))
(1)
6=-sqrt(-6)(sqrt(-6))=2·3,
(2)

儘管以上因子在這些域中都是素數。所有其他滿足 |D|<=7 的二次域 Q(sqrt(D)) 是唯一可分解的。

二次域服從以下恆等式

(a+bsqrt(D))+/-(c+dsqrt(D))=(a+/-c)+(b+/-d)sqrt(D)
(3)
(a+bsqrt(D))(c+dsqrt(D))=(ac+bdD)+(ad+bc)sqrt(D),
(4)

和

(a+bsqrt(D))/(c+dsqrt(D))=(ac-bdD)/(c^2-d^2D)+(bc-ad)/(c^2-d^2D)sqrt(D).
(5)

實域 Q(sqrt(D)) 中的整數的形式為 r+srho，其中

rho={sqrt(D) for D=2 or D=3 (mod 4); 1/2(-1+sqrt(D)) for D=1 (mod 4).
(6)

恰好有 21 個二次域存在 歐幾里得演算法，對應於 無平方因子 的整數 -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 和 73 (A048981)。這個列表由 Inkeri (1947) 發表，但錯誤地包含了額外的偽項 97 (Barnes 和 Swinnerton-Dyer 1952; Hardy 和 Wright 1979, p. 217)。

參見

代數整數, 艾森斯坦整數, 高斯整數, 虛二次域, 整數, 數域, 二次, 實二次域

使用 探索

參考文獻

Barnes, E. S. 和 Swinnerton-Dyer, H. P. F. "二元二次型的非齊次最小值. I." 數學學報 87, 259-323, 1952.Berg, E. Fysiogr. Sällsk. Lund. Föhr. 5, 1-6, 1935.Chatland, H. "二次數域中的歐幾里得演算法." 美國數學學會公報 55, 948-953, 1949.Chatland, H. 和 Davenport, H. "實二次域中的歐幾里得演算法." 加拿大數學雜誌 2, 289-296, 1950.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "實歐幾里得域" 和 "實歐幾里得域 (續)." §14.8 和 14.9 in 數論導論，第 5 版。 牛津，英格蘭：克拉倫登出版社，pp. 213-217, 1979.Inkeri, K. "關於二次數域中的歐幾里得演算法." 芬蘭科學院學報。A. 1. 數學-物理學, No. 41, 1-35, 1947.Koch, H. "二次數域." Ch. 9 in 數論：代數數和函式。 普羅維登斯，羅德島州：美國數學學會，pp. 275-314, 2000.LeVeque, W. J. 數論主題，卷 2。 雷丁，馬薩諸塞州：艾迪生-韋斯利出版社，p. 57, 1956.Oppenheim. 數學年鑑 109, 349-352, 1934.Samuel, P. "唯一分解." 美國數學月刊 75, 945-952, 1968.Stark, H. M. 數論導論。 劍橋，馬薩諸塞州：麻省理工學院出版社，p. 294, 1994.Shanks, D. 數論中已解決和未解決的問題，第 4 版。 紐約：切爾西出版社，pp. 153-154, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A048981 in "整數序列線上百科全書。"

在 中引用

二次域

引用為

Weisstein, Eric W. "二次域." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/QuadraticField.html

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