正交多項式

正交多項式是 多項式 的類別，定義在 範圍內，並服從 正交性 關係

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其中 是一個 權重函式， 是 克羅內克 delta。如果 ，那麼這些 多項式 不僅是正交的，而且是正交歸一的。

正交多項式在解決數學和物理問題中具有非常有用的性質。正如 傅立葉級數 提供了一種方便的方法，將週期函式展開為線性無關項的級數一樣，正交多項式為解決、展開和解釋許多重要型別的 微分方程 的解提供了一種自然的方法。使用 格拉姆-施密特正交化 生成正交多項式尤其容易。

下表給出了常見的正交多項式，其中 是權重函式，並且

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（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 774-775 頁）。

多項式	區間
第一類切比雪夫多項式
第二類切比雪夫多項式
蓋根鮑爾多項式
埃爾米特多項式
雅可比多項式
拉蓋爾多項式			1
廣義 拉蓋爾多項式
勒讓德多項式		1

在上表中，

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其中 是 伽馬函式。

正交多項式的 根 具有許多相當令人驚訝和有用的性質。例如，設 是 的 根，其中 和 。那麼每個區間 對於 , 1, ..., 都包含 恰好一個 根，即 的根。在 的兩個 根 之間，至少有一個 根 是 的根，對於 。

設 是任意 實 常數，則 多項式

(4)

有 個不同的 實 根。如果 ()，這些 根 位於 的內部，除了最大（最小）根，它僅在以下情況下位於 中

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以下部分分式分解成立

(6)

其中 是 的 根，並且

			(7)
			(8)

另一個有趣的性質是透過讓 成為與 在 上的分佈相關的正交歸一集 多項式。那麼 連分數 的 收斂項

(9)

由下式給出

			(10)
			(11)
			(12)

其中 , 1, ... 並且

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此外，與 在區間 上的分佈相關的正交多項式 的 根 是 實數 且不同的，並且位於區間 的內部。