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Pollaczek 多項式

設 a大於絕對值b, 並記作

h(theta)=(acostheta+b)/(2sintheta).
(1)

然後透過 生成函式 定義 P下標n(x;a,b)

f(x,w)=f(costheta,w)=sum_(n=0)^inftyP_n(x;a,b)w^n =(1-we^(itheta))^(-1/2+ih(theta))(1-we^(itheta))^(-1/2-ih(theta)).
(2)

生成函式 也可以寫成

f(x,w)=(1-2xw+w^2)^(-1/2)exp[(ax+b)sum_(m=1)^infty(w^m)/mU_(m-1)(x)],
(3)

其中 U下標m(x) 是 第二類切比雪夫多項式。

Pollaczek 多項式滿足遞推關係

nP_n(x;a,b)=[(2n-1+2a)x+2b]P_(n-1)(x;a,b)-(n-1)P_(n-2)(x;a,b)
(4)

對於 n等於2, 3, ...，其中

P_0=1
(5)
P_1=(2a+1)x+2b.
(6)

用 超幾何函式 下標2F下標1(a,b;c;x) 表示：

P_n(costheta;a;b)=e^(intheta)_2F_1(-n,1/2+ih(theta);1;1-e^(-2itheta)).
(7)

它們服從正交關係

int_(-1)^1P_n(x;a,b)P_m(x;a,b)w(x;a,b)dx=[n+1/2(a+1)]^(-1)delta_(nm),
(8)

其中 delta下標(nm) 是 克羅內克 delta，對於 n,m=0, 1, ...，具有權重函式

w(costheta;a,b)=e^((2theta-pi)h(theta)){cosh[pih(theta)]}^(-1).
(9)

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參考文獻

Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 393-400, 1975.

在 中被引用

Pollaczek 多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Pollaczek Polynomial." 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/PollaczekPolynomial.html

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