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克拉夫丘克多項式

設 alpha(x) 為一個 階躍函式，其在 跳躍

j(x)=(N; x)p^xq^(N-x)
(1)

於 x=0, 1, ..., N 處，其中 p>0,q>0，且 p+q=1。則克拉夫丘克多項式定義為

k_n^((p))(x,N)=sum_(nu=0)^(n)(-1)^(n-nu)(N-x; n-nu)(x; nu)p^(n-nu)q^nu,
(2)
=(-1)^n(N; n)p^n_2F_1(-n,-x;-N;1/p)
(3)
=((-1)^np^n)/(n!)(Gamma(N-x+1))/(Gamma(N-x-n+1))×_2F_1(-n,-x;N-x-n+1;(p-1)/p).
(4)

對於 n=0, 1, ..., N。前幾個克拉夫丘克多項式為

k_0^((p))(x,N)=1
(5)
k_1^((p))(x,N)=-Np+x
(6)
k_2^((p))(x,N)=1/2[N^2p^2+x(2p+x-1)-Np(p+2x)].
(7)

Koekoek 和 Swarttouw (1998) 將克拉夫丘克多項式定義為沒有前導係數的形式：

K_n(x;p,N)=_2F_1(-n,-x;-N;1/p).
(8)

克拉夫丘克多項式具有 權函式

w=(N!p^xq^(N-x))/(Gamma(1+x)Gamma(N+1-x)),
(9)

其中 Gamma(x) 是 伽瑪函式，遞推關係

(n+1)k_(n+1)^((p))(x,N)+pq(N-n+1)k_(n-1)^((p))(x,N) =[x-n-(N-2)]k_n^((p))(x,N),
(10)

以及平方範數

(N!)/(n!(N-n)!)(pq)^n.
(11)

它具有極限

lim_(N->infty)(2/(Npq))^(n/2)n!k_n^((p))(Np+sqrt(2Npq)s,N)=H_n(s),
(12)

其中 H_n(x) 是 埃爾米特多項式。

克拉夫丘克多項式是 第一類梅克斯納多項式 的特例。

參見

漢明方案, 第一類梅克斯納多項式, 正交多項式

使用 探索

參考文獻

Koekoek, R. 和 Swarttouw, R. F. "克拉夫丘克." §1.10 在 超幾何正交多項式的 Askey 格式及其 q-類似物。 荷蘭代爾夫特：代爾夫特理工大學，技術數學與資訊學學院報告 98-17，第 46-47 頁，1998 年。Koepf, W. 超幾何求和：求和與特殊函式恆等式的演算法方法。 德國不倫瑞克：Vieweg，第 115 頁，1998 年。Nikiforov, A. F.; Uvarov, V. B.; 和 Suslov, S. S. 離散變數的經典正交多項式。 紐約：施普林格出版社，1992 年。Schrijver, A. "Delsarte 和 Lovász 界限的比較。" IEEE Trans. Inform. Th. 25, 425-429, 1979 年。Szegö, G. 正交多項式，第 4 版。 普羅維登斯，羅德島州：美國數學會，第 35-37 頁，1975 年。Zelenkov, V. "克拉夫丘克多項式主頁。" http://www.geocities.com/orthpol/.

在 中被引用

克拉夫丘克多項式

引用為

Weisstein, Eric W. "克拉夫丘克多項式。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/KrawtchoukPolynomial.html

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