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哈恩多項式

由以下定義的正交多項式

h_n^((alpha,beta))(x,N)=((-1)^n(N-x-n)_n(beta+x+1)_n)/(n!) ×_3F_2(-n,-x,alpha+N-x; N-x-n,-beta-x-n;1) =((-1)^n(N-n)_n(beta+1)_n)/(n!) ×_3F_2(-n,-x,alpha+beta+n+1; beta+1,1-N;1),
(1)

其中 (x)_n 是 Pochhammer 符號 和 _3F_2(a,b,c;d,e;z) 是一個 廣義超幾何函式 (Koepf 1998)。前幾個由下式給出

h_0^((alpha,beta))(x,N)=1
(2)
h_1^((alpha,beta))(x,N)=x(alpha+beta+2)-(N-1)(beta+1).
(3)

Koekoek 和 Swarttouw (1998) 定義了另一個哈恩多項式

Q_n(x;alpha,beta,N)=_3F_2(-n,n+alpha+beta+1,-x; alpha+1,-N;1),
(4)

對偶哈恩多項式

R_n(lambda(x);gamma,delta,N)=_3F_2(-n,-x,x+gamma+delta+1; gamma+1,-N;1),
(5)

連續哈恩多項式

p_n(x;a,b,c,d)=i^n((a+c)_n(a+d)_n)/(n!) ×_3F_2(-n,n+a+b+c+d-1,a+ix; a+c,a+d;1),
(6)

以及連續對偶哈恩多項式

(S_n(x^2;a,b,c))/((a+b)_n(a+c)_n)=_3F_2(-n,a+ix,a-ix; a+b,a+c;1),
(7)

對於 n=0, 1, ..., N，其中

lambda(x)=x(x+gamma+delta+1).
(8)

使用 探索

參考文獻

Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "Continuous Dual Hahn," "Continuous Hahn," "Hahn," and "Dual Hahn." §1.3-1.6 在 The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 29-36, 1998.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 115, 1998.

在 中被引用

哈恩多項式

引用為

Weisstein, Eric W. "Hahn Polynomial." 來自 —— Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/HahnPolynomial.html

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