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拉蓋爾多項式

LaguerreL

拉蓋爾多項式是 拉蓋爾微分方程 的解，其中 nu=0。 上圖展示了 x in [0,1] 和 n=1, 2, ..., 5 的情況，並在 Wolfram 語言 中實現為LaguerreL[n, x].

前幾個拉蓋爾多項式為

L_0(x)=1
(1)
L_1(x)=-x+1
(2)
L_2(x)=1/2(x^2-4x+2)
(3)
L_3(x)=1/6(-x^3+9x^2-18x+6).
(4)

當從最小到最大的冪排序，並將分母分解後，非零係數的三角形為 1; -1, 1; 2, -4, 1; -6, 18, -9 1; 24, -96, ... (OEIS A021009)。 前導分母為 1, -1, 2, -6, 24, -120, 720, -5040, 40320, -362880, 3628800, ... (OEIS A000142)。

拉蓋爾多項式由以下求和公式給出

L_n(x)=sum_(k=0)^n((-1)^k)/(k!)(n; k)x^k,
(5)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數。

拉蓋爾多項式的 羅德里格斯表示 為

L_n(x)=(e^x)/(n!)(d^n)/(dx^n)(x^ne^(-x))
(6)

拉蓋爾多項式的 生成函式 為

g(x,z)=(exp(-(xz)/(1-z)))/(1-z)
(7)
=1+(-x+1)z+(1/2x^2-2x+1)z^2+(-1/6x^3+3/2x^2-3x+1)z^3+....
(8)

通常用作拉蓋爾多項式定義的圍道積分由下式給出

L_n(z)=1/(2pii)∮(e^(-zt/(1-t)))/((1-t)t^(n+1))dt,
(9)

其中圍道 gamma 包圍原點但不包圍點 z=1 (Arfken 1985, pp. 416 和 722)。

拉蓋爾多項式滿足以下 遞推關係

(n+1)L_(n+1)(x)=(2n+1-x)L_n(x)-nL_(n-1)(x)
(10)

(Petkovšek et al. 1996) 和

xL_n^'(x)=nL_n(x)-nL_(n-1)(x).
(11)

具有 nu!=0 和整數 k 的相關 拉蓋爾微分方程 的解稱為 相關拉蓋爾多項式 L_n^k(x) (Arfken 1985, p. 726)，或在較舊的文獻中稱為索寧多項式 (Sonine 1880, p. 41; Whittaker and Watson 1990, p. 352)。

另請參閱

相關拉蓋爾多項式, 拉蓋爾微分方程, 多元拉蓋爾多項式, 正交多項式

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/LaguerreL/, http://functions.wolfram.com/Polynomials/LaguerreL3/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LaguerreLGeneral/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LaguerreL3General/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "正交多項式." 第 22 章 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 771-802, 1972.Andrews, G. E.; Askey, R.; 和 Roy, R. "拉蓋爾多項式." §6.2 in Special Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 282-293, 1999.Arfken, G. "拉蓋爾函式." §13.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 721-731, 1985.Chebyshev, P. L. "關於單變數函式的發展." Bull. Ph.-Math., Acad. Imp. Sc. St. Pétersbourg 1, 193-200, 1859.Chebyshev, P. L. Oeuvres, Vol. 1. New York: Chelsea, pp. 499-508, 1987.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (編). "拉蓋爾函式." 附錄 A, 表 20.VI in Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1481, 1980.Koekoek, R. 和 Swarttouw, R. F. "拉蓋爾." §1.11 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 47-49, 1998.Laguerre, E. de. "關於積分 int_x^(+infty)x^(-1)e^(-x)dx." Bull. Soc. math. France 7, 72-81, 1879. Reprinted in Oeuvres, Vol. 1. New York: Chelsea, pp. 428-437, 1971.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 61-62, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Roman, S. "拉蓋爾多項式." §3.1 i The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 108-113, 1984.Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. "拉蓋爾多項式." §11 in "關於組合理論的基礎. VIII: 有限運算元演算." J. Math. Anal. Appl. 42, 684-760, 1973.Sansone, G. "拉蓋爾和埃爾米特級數展開." 第 4 章 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 295-385, 1991.Sloane, N. J. A. 整數序列 A000142/M1675 和 A021009 in "整數序列線上百科全書"。Sonine, N. J. "關於柱函式和連續函式的級數展開." Math. Ann. 16, 1-80, 1880.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "拉蓋爾多項式 L_n(x)." 第 23 章 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 209-216, 1987.Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 第 16 章，例 8 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 352, 1990.

在 中被引用

拉蓋爾多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "拉蓋爾多項式。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/LaguerrePolynomial.html

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