冪和

通常考慮兩種冪和。第一種是一組 次冪，即一組 個變數 的和，

第二種是特殊情況 ，即，

一般冪和在統計學中很常見。例如，k 統計量最常根據冪和定義。冪和透過 牛頓-吉拉德公式 與 對稱多項式 相關。

x 的 次冪乘以 的和可以透過解析方式給出：

其他解析和包括：

對於 ，其中 是一個 波赫哈默爾符號。有限版本具有簡潔的閉合形式

對於 和 2。另一個和由下式給出：

整數 冪 和的解析解是

其中 是 黎曼 zeta 函式， 是 赫爾維茨 zeta 函式，而 是廣義 調和數。對於 為 正整數 的特殊情況，福爾哈伯公式 明確給出了 和：

其中 是 克羅內克 delta， 是 二項式係數，而 是 伯努利數。同樣正確的是，正如伯努利 (Boyer 1943) 所述，這種展開式中各項的 係數 之和為 1。

伯努利使用了 圖形數三角形 的性質：

以及他透過歸納推匯出的 的形式，以計算高達 的和（Boyer 1968，第 85 頁）。對於 ，和由下式給出：

其中 符號 表示所討論的量被提升到適當的 冪 ，並且所有 形式為 的項都用相應的伯努利數 替換。用 冪 和顯式表示為：

其中

同樣正確的是，各項 的 係數 之和為 1，

伯努利在沒有證明的情況下陳述了這一點。

S_p(n) 的 雙級數 解由下式給出：

計算 , ..., 10 的和得到

或因式分解形式為，

(OEIS A064538 和 A079618)。

特殊情況 的一個簡單的圖形證明也可以透過構建一系列盒子堆疊來給出，每個盒子寬度為 1 單位，高度為 單位，其中 、2、...、。現在在頂部新增一個旋轉副本，如上圖所示。請注意，所得圖形的 寬度 為 ，高度 為 ，因此 面積 為 。所需的和是它的一半，因此和中盒子的 面積 為 。由於盒子是單位寬度，因此這也是和的值。

和 也可以使用第一個 尤拉-麥克勞林積分公式 計算

其中 。那麼

令人驚訝的恆等式

被稱為 尼科馬科斯定理，也可以用圖形方式說明（Wells 1991，第 198-199 頁）。

Schultz (1980) 表明，可以透過寫出以下公式找到和 ：

並求解 個方程組：

對於 , 1, ..., (Guo 和 Qi 1999) 獲得，其中 是 克羅內克 delta。例如，對於 要解的三個方程是

得到 、 和 ，或

正如預期的那樣。

透過以下公式與 二項式定理 相關：

(Guo 和 Qi 1999)。