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尤拉-麥克勞林積分公式

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尤拉-麥克勞林積分和求和公式可以從達布公式匯出，透過將伯努利多項式 B_n(t) 代入函式 phi(t)。對恆等式求 n-k 次導數得到

B_n(t+1)-B_n(t)=nt^(n-1)
(1)

n-k 次得到

B_n^((n-k))(t+1)-B_n^((n-k))(t)=n(n-1)...kt^(k-1).
(2)

代入 t=0 得到 B_n^((n-k))(1)=B_n^((n-k))(0)。從 B_n(z) 的麥克勞林級數，其中 k>0，我們有

B_n^((n-2k-1))(0)=0
(3)
B_n^((n-2k))(0)=(n!)/((2k)!)B_(2k)
(4)
B_n^((n-1))(0)=1/2n!
(5)
B_n^((n))(0)=n!,
(6)

其中 B_n 是伯努利數，將 B_n^((n-k))(1) 和 B_n^((n-k))(0) 的值代入達布公式得到

(z-a)f^'(a)=f(z)-f(a)-(z-a)/2[f^'(z)-f^'(a)]+sum_(m=1)^(n-1)(B_(2m)(z-a)^(2m))/((2m)!)[f^((2m))(z)-f^((2m))(a)]-((z-a)^(2n+1))/((2n)!)int_0^1B_(2n)(t)f^((2n+1))[a-(z-a)t]dt,
(7)

這就是尤拉-麥克勞林積分公式 (Whittaker and Watson 1990, p. 128)。當函式 f(z) 在積分割槽域內解析時，該公式成立

在某些情況下，當 n->infty 時，最後一項趨於 0，此時可以得到 f(z)-f(a) 的無窮級數。在這種情況下，可以透過反轉公式將求和轉換為積分，從而得到尤拉-麥克勞林求和公式

sum_(k=1)^(n-1)f_k=int_0^nf(k)dk-1/2[f(0)+f(n)]+sum_(k=1)^infty(B_(2k))/((2k)!)[f^((2k-1))(n)-f^((2k-1))(0)],
(8)

展開後得到

sum_(k=1)^(n-1)f_k=int_0^nf(k)dk-1/2[f(0)+f(n)]+1/(12)[f^'(n)-f^'(0)]-1/(720)[f^(''')(n)-f^(''')(0)]+1/(30240)[f^((5))(n)-f^((5))(0)]-1/(1209600)[f^((7))(n)-f^((7))(0)]+...
(9)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 16)。尤拉-麥克勞林求和公式在 Wolfram 語言 中以函式形式實現NSum以及選項Method -> "EulerMaclaurin".

當 f(x) 在 n 個值 f_(3/2), f_(5/2), ..., f_(n-1/2) 處製表時，使用第二類尤拉-麥克勞林積分公式

int_(x_1)^(x_n)f(x)dx=h[f_(3/2)+f_(5/2)+f_(7/2)+...+f_(n-3/2)+f_(n-1/2)] -sum_(k=1)^infty(B_(2k)h^(2k))/((2k)!)(1-2^(-2k+1))[f_n^((2k-1))-f_1^((2k-1))].
(10)

另請參閱

達布公式, 麥克勞林-柯西定理, 求和, Wynn's Epsilon 方法

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版. New York: Dover, pp. 16 和 806, 1972.Apostol, T. M. "尤拉求和公式的初等視角." Amer. Math. Monthly 106, 409-418, 1999.Arfken, G. "伯努利數，尤拉-麥克勞林公式." §5.9 in 物理學家的數學方法，第 3 版. Orlando, FL: Academic Press, pp. 327-338, 1985.Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; 和 Dilcher, K. "Pi、尤拉數和漸近展開." Amer. Math. Monthly 96, 681-687, 1989.Euler, L. Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. 6, 68, 1738.Havil, J. "尤拉-麥克勞林求和." §10.2 in Gamma：探索尤拉常數. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 85-86, 2003.Knopp, K. 無窮級數的理論與應用. New York: Dover, 1990.Maclaurin, C. 流數法專論. Edinburgh, p. 672, 1742.Vardi, I. "尤拉-麥克勞林公式." §8.3 in Mathematica 中的計算娛樂. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 159-163, 1991.Whittaker, E. T. 和 Robinson, G. "尤拉-麥克勞林公式." §67 in 觀測微積分：數值數學專論，第 4 版. New York: Dover, pp. 134-136, 1967.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. "尤拉-麥克勞林展開." §7.21 in 現代分析教程，第 4 版. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 127-128, 1990.

在 中被引用

尤拉-麥克勞林積分公式

引用為

Weisstein, Eric W. "尤拉-麥克勞林積分公式。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/Euler-MaclaurinIntegrationFormulas.html

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