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尼科馬科斯定理

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尼科馬科斯注意到，當奇數按長度為 1, 2, 3, ... 的塊分組時，即 1; 3+5; 7+9+11; 13+15+17+19; ...，第 n 個立方數 n^3 是 n 個連續奇數的和，例如

1^3=1
(1)
2^3=3+5
(2)
3^3=7+9+11
(3)
4^3=13+15+17+19,
(4)

等等（Merzbach 和 Boyer 1991, 第 160 頁）。

這組恆等式源於

sum_(i=1)^n[n(n-1)-1+2i]=n^3.
(5)

當與早期畢達哥拉斯的認識相結合，即前奇數的和是 n^2 （Merzbach 和 Boyer 1991, 第 160 頁）時，這導致了 Faulhaber 公式的情況

sum_(k=1)^(n)k^3=(sum_(k=1)^(n)k)^2
(6)
=1/4n^2(n+1)^2
(7)
=(n+1; 2)^2
(8)

這有時被稱為尼科馬科斯定理。對於 n=1, 2, ...，前幾個值是 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, ... (OEIS A000537)，這些是平方三角數（雖然不是 平方三角形數）。

代入 n=10 得到 2025，這個值在另一個千年內不會對應當前的日曆年份。

另請參閱

立方數, Faulhaber 公式, 奇數, 奇數定理, 平方三角形數

使用 探索

參考文獻

Benjamin, A. T. 和 Orrison, M. E. "sumk^3=(n+1; 2)^2 的兩個快速組合證明。" College Math. J. 33, 406-408, 2002.Benjamin, A. T.; Quinn, J. J.; 和 Wurtz, C. "透過計數矩形求立方和。" College Math. J. 37, 387-389, 2006Kanim, K. "無字證明：立方和——阿基米德平方和的擴充套件。" Math. Mag. 77, 298-299, 2004.Merzbach, U. C. 和 Boyer, C. B. 數學史，第 3 版。 New York: Wiley, pp. 159-160, 1991.Nicomachus. 第 20 章，算術入門。Smith, D. E. 數學史，第 1 卷：初等數學史概論。 New York: Dover, pp. 128-129, 1958.Stein, R. G. "sumk^3=(sumk)^2 的組合證明。" Math. Mag. 44, 161-162, 1971.Stroeker, R. J. "關於連續立方和為完全平方數。" Compos. Math. 97, 295-307, 1995.

在 中被引用

尼科馬科斯定理

請引用為

Weisstein, Eric W. "尼科馬科斯定理。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/NicomachussTheorem.html

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