費爾哈伯公式

在 1631 年出版的稀有著作《代數學院》(Academiae Algebrae) 中，J. 費爾哈伯發表了關於前 個正整數的冪和的若干公式。關於費爾哈伯著作的詳細分析可以在 Knuth (1993) 以及經過少量修訂的 Knuth (2001) 中找到。

在費爾哈伯提出的結果中（沒有說明這些結果是如何推匯出來的），有奇次冪的和

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

其中 。雖然費爾哈伯認為對於所有冪 ，以 為變數且符號交替的類似多項式將繼續存在，但雅可比 (Jacobi) (1834; Knuth 1993) 首次發表了嚴格的證明。

求和公式 有時被稱為尼科馬科斯定理。

用 直接表示冪為 , ..., 10 的這些和，得到

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)

雖然費爾哈伯沒有意識到（也沒有發現）伯努利數或調和數，但 k 從 1 到 的 次冪和的一般公式可以用閉合形式給出，如下所示

			(20)
			(21)

其中 是廣義調和數， 是克羅內克 delta， 是二項式係數，B_i 是第 個伯努利數。

在他的著作中，費爾哈伯還考慮並（正確地）聲稱，當 3, 5, ... 時，, , ..., 的 重求和是 的多項式。更多細節由 Knuth (1993, 2001) 給出。

這些冪和中的任何一個都可以稱為“費爾哈伯和”。