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三角形數

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TriangularNumber

三角形數 T_n 是一個 圖形數，可以用三角形點陣的形式表示，其中第一行包含一個元素，隨後的每一行都比前一行多一個元素。上面以 T_1=1、 T_2=3、... 為例進行了說明。因此，三角形數是 1、 1+2、 1+2+3、 1+2+3+4、...，因此對於 n=1、2、...，前幾個是 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... (OEIS A000217)。

更正式地說，三角形數是透過將所有小於或等於給定正整數 n 的正整數相加而獲得的數，即，

T_n=sum_(k=1)^(n)k
(1)
=1/2n(n+1)
(2)
=(n+1; 2),
(3)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數。因此，一群 n 人之間可以發出的不同碰杯聲的數量（這僅僅是 (n; 2)）由三角形數 T_(n-1) 給出。

因此，三角形數 T_n=n+(n-1)+...+2+1 是 階乘 n!=n·(n-1)...2·1 的加法模擬。

Binary representation of the triangular numbers

上面顯示了表示為二進位制位的序列的前幾個三角形數的圖。頂部部分顯示了 T_1 到 T_(255)，底部顯示了接下來的 510 個值。

奇數三角形數由 1, 3, 15, 21, 45, 55, ... (OEIS A014493) 給出，而偶數三角形數是 6, 10, 28, 36, 66, 78, ... (OEIS A014494)。

T_4=10 給出了 四面體數 的數量和排列（這也是 保齡球 瓶的排列），而 T_5=15 給出了 檯球 中球的數量和排列。三角形數滿足 遞推關係

T_(n+1)^2-T_n^2=(n+1)^3,
(4)

以及

T_n^2+T_(n-1)^2=T_(n^2)
(5)
3T_n+T_(n-1)=T_(2n)
(6)
3T_n+T_(n+1)=T_(2n+1)
(7)
1+3+5+...+(2n-1)=T_n+T_(n-1).
(8)
TriangleSquare

此外，三角形數可以透過以下方式與平方數關聯：

(2n+1)^2=8T_n+1
(9)
=T_(n-1)+6T_n+T_(n+1)
(10)

（Conway 和 Guy 1996），如上圖所示（Wells 1991，第 198 頁）。

三角形數的普通 生成函式 為

f(x)=x/((1-x)^3)
(11)
=x+3x^2+6x^3+10x^4+15x^5+...
(12)

和 指數生成函式 為

g(x)=(1+2x+1/2x^2)e^x
(13)
=1+3x+3x^2+5/3x^3+5/8x^4+...
(14)
=1+3x/(1!)+6(x^2)/(2!)+10(x^3)/(3!)+15(x^4)/(4!)+...
(15)

（Sloane 和 Plouffe 1995，第 9 頁）。

每隔一個三角形數 T_n 都是一個 六邊形數，其中

H_n=T_(2n-1).
(16)

此外，每個 五邊形數 都是三角形數的 1/3，其中

P_n=1/3T_(3n-1).
(17)

連續三角形數的和是一個 平方數，因為

T_r+T_(r-1)=1/2r(r+1)+1/2(r-1)r
(18)
=1/2r[(r+1)+(r-1)]
(19)
=r^2.
(20)

涉及三角形數、平方數 和 立方數 的有趣恆等式有

sum_(k=1)^(2n-1)(-1)^(k+1)T_k=n^2
(21)
sum_(k=1)^(n)k^3=T_n^2
(22)
=1/4n^2(n+1)^2
(23)
sum_(k=1)^(n)(2k-1)^3=T_(2n^2-1)
(24)
=n^2(2n^2-1).
(25)

三角形數也意外地出現在涉及 絕對值 形式 的積分中

int_0^1int_0^1|x-y|^ndxdy=2/((n+1)(n+2)).
(26)

所有 偶數 完全數 都是三角形數 T_p，其中 素數 p。此外，每個 偶數 完全數 P>6 都是 形式

P=1+9T_n=T_(3n+1),
(27)

其中 T_n 是一個三角形數，其中 n=8j+2 (Eaton 1995, 1996)。因此，巢狀表示式

9(9...(9(9(9(9T_n+1)+1)+1)+1)...+1)+1
(28)

為任何 T_n 生成三角形數。一個 整數 k 是一個三角形數 當且僅當 8k+1 是一個 平方數 >1。

數字 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, ... (OEIS A001110) 是 平方三角形數，即同時是三角形數和 平方數 的數字 (Pietenpol 1962)。相應的平方根是 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, ... (OEIS A001109)，並且相應的三角形數 T_n 的索引是 n=1、8、49、288、1681、... (OEIS A001108)。

同時是三角形數和 四面體數 的數字滿足 二項式係數 方程

T_n=(n+1; 2)=(m+2; 3)=Te_m,
(29)

其唯一的解是

Te_3=T_4=10
(30)
Te_8=T_(15)=120
(31)
Te_(20)=T_(55)=1540
(32)
Te_(34)=T_(119)=7140
(33)

（Guy 1994，第 147 頁）。

下表給出了具有素數索引 p 的三角形數 T_p。

類別Sloane序列
具有素數索引的 T_nA0349533, 6, 15, 28, 66, 91, 153, 190, 276, 435, 496, ...
具有素數索引的奇數 T_nA0349543, 15, 91, 153, 435, 703, 861, 1431, 1891, 2701, ...
具有素數索引的偶數 T_nA0349556, 28, 66, 190, 276, 496, 946, 1128, 1770, 2278, ...

根據 Cesàro 在 1886 年的確定 (Le Lionnais 1983, p. 56)，使得 n^3-13 是三角形數四倍的兩個 整數 中最小的是 5。唯一是三角形數的 斐波那契數 是 1、3、21 和 55 (Ming 1989)，唯一是三角形數的 佩爾數 是 1 (McDaniel 1996)。野獸數 666 是三角形數，因為

T_(6·6)=T_(36)=666.
(34)

事實上，它是最大的 重覆數字 三角形數 (Bellew 和 Weger 1975-76)。

4T(n)+1 的正除數都具有 4k+1 的形式，6T(n)+1 的正除數都具有 6k+1 的形式，而 10T(n)+1 的正除數都具有 10k+/-1 的形式；也就是說，它們的十進位制數字以 1 或 9 結尾。

費馬多邊形數定理 指出，每個 正整數 都是至多三個三角形數、四個 平方數、五個 五邊形數 和 n 個 n-多邊形數 的和。高斯證明了三角形的情況 (Wells 1986, p. 47)，並在 1796 年 7 月 10 日在他的日記中記錄了這一事件，並帶有符號

**EUpsilonRHKA num=Delta+Delta+Delta.
(35)

這種情況等同於每個 形式 為 8m+3 的數都是三個 奇數 平方數 的和的陳述 (Duke 1997)。狄利克雷推匯出了一個 整數 m 可以表示為三個三角形數之和的方式的數量 (Duke 1997)。對於 形式 為 8m+3 的 素數，結果特別簡單，在這種情況下，它是平方模 8m+3 的數量減去從 1 到 4m+1 的 區間 內的非平方模 8m+3 的數量 (Deligne 1973, Duke 1997)。

唯一是三個連續 整數 的 乘積 的三角形數是 6, 120, 210, 990, 185136, 258474216 (OEIS A001219; Guy 1994, p. 148)。

另請參閱

保齡球, 立方三角形數, 圖形數, 七邊形三角形數, 八邊形三角形數, 五邊形三角形數, 普洛尼克數, 平方三角形數, 四面體數

使用 探索

參考文獻

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 59, 1987.Bellew, D. W. 和 Weger, R. C. "Repdigit Triangular Numbers." J. Recr. Math. 8, 96-97, 1975-76.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 33-38, 1996.Deligne, P. "La Conjecture de Weil." Inst. Hautes Études Sci. Pub. Math. 43, 273-308, 1973.Dudeney, H. E. Amusements in Mathematics. New York: Dover, pp. 67 和 167, 1970.Duke, W. "Some Old Problems and New Results about Quadratic Forms." Not. Amer. Math. Soc. 44, 190-196, 1997.Eaton, C. F. "Problem 1482." Math. Mag. 68, 307, 1995.Eaton, C. F. "Perfect Number in Terms of Triangular Numbers." Solution to Problem 1482. Math. Mag. 69, 308-309, 1996.Guy, R. K. "Sums of Squares" 和 "Figurate Numbers." §C20 和 §D3 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 136-138 和 147-150, 1994.Hindin, H. "Stars, Hexes, Triangular Numbers and Pythagorean Triples." J. Recr. Math. 16, 191-193, 1983-1984.Hobson, N. "Triangular Numbers." http://www.qbyte.org/puzzles/p149s.html#triangular.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 56, 1983.McDaniel, W. L. "Triangular Numbers in the Pell Sequence." Fib. Quart. 34, 105-107, 1996.Ming, L. "On Triangular Fibonacci Numbers." Fib. Quart. 27, 98-108, 1989.Pappas, T. "Triangular, Square & Pentagonal Numbers." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 214, 1989.Pietenpol, J. L. "Square Triangular Numbers." Amer. Math. Monthly 169, 168-169, 1962.Ram, R. "Triangle Numbers that are Perfect Squares." http://users.tellurian.net/hsejar/maths/triangle/.Satyanarayana, U. V. "On the Representation of Numbers as the Sum of Triangular Numbers." Math. Gaz. 45, 40-43, 1961.Sloane, N. J. A. Sequences A000217/M2535, A001108/M4536, A001109/M4217, A001110/M5259, A001219, A014493, A014494, A034953, A034955, and A034955 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sloane, N. J. A. 和 Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, 1995.Trotter, T. Jr. "Some Identities for the Triangular Numbers." J. Recr. Math. 6, 128-135, 1973.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, pp. 47-48, 1986.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 199, 1991.

在 上引用

三角形數

請引用為

Weisstein, Eric W. "三角形數。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/TriangularNumber.html

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