保齡球

保齡球，在世界大部分地區被稱為“十瓶制”，是一種透過滾動重球沿狹長球道，試圖擊倒排列成三角形（頂點朝向保齡球手）的十個球瓶的遊戲。10 個保齡球瓶的排列方式是四面體，也是三角形數 。

每“局”最多允許投擲兩個球（或“滾球”），一場比賽由十局組成（最後一局球的數量有特殊規則）。如果在第一球擊倒所有球瓶，結果稱為“全中”，該局不再獎勵第二球（除非在第十局也是最後一局獲得全中的情況下，在這種情況下獎勵兩個額外的球），並且計分是 10 分加上接下來兩球擊倒的球瓶數。如果在第一球投擲後擊倒部分或沒有擊倒球瓶，則獎勵第二球。如果在第二球擊倒所有剩餘球瓶，結果稱為“補中”，並且計分是 10 分加上下一球投擲擊倒的球瓶數。如果在每局投擲兩個球后，所有球瓶沒有被擊倒，則該局的得分按擊倒的球瓶總數計算。

比賽共進行十局，除非最後一局包含全中或補中，在這種情況下會獎勵額外的一球。

可能的最大分數，對應於 12 次全中，是 300 分。

可能的保齡球比賽總數非常龐大；第一局第一球有 11 種可能性（洗溝、1、2、...、9、全中），並且在其他九局中的每一局都存在相同的可能性。因此，在不考慮每局的第二球的情況下，至少有 (Balmoral Software)。事實上，由於每局第二球的影響，實際的比賽數量要大得多。可能的比賽總數是

(Cooper 和 Kennedy 1990)。

定義集合

和矩陣

那麼，對應於得分 的比賽數量的生成函式由下式給出

其中 是 矩陣中的條目

(Cooper 和 Kennedy 1990)。

得分為 , 1, 2, 3, 4, 5 的可能比賽數量為：1, 20, 210, 1540, 8855, 42504, ... (OEIS A060853；Cooper 和 Kennedy 1990)。從上圖可以看出，可能比賽數量作為 函式的分佈並非完全圍繞其最大值對稱。最佳擬合高斯分佈由下式給出

其中 , , 和 （上方虛線藍色曲線）。

平均得分由下式給出

(Cooper 和 Kennedy 1990)。得分 的眾數是 。對於 , 289, ..., 300，總數分別為 12, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1。

具有相同可能投擲方式的分數總結在下表中。