多邊形數

多邊形數是一種 具形數，它是 三角形數、正方形數等的推廣，推廣到 邊形，其中 是任意正整數。上面的圖表以圖形方式說明了多邊形數的構建過程。從第 個 三角形數 開始，然後

(1)

現在請注意

(2)

給出第 個 正方形數，

(3)

給出第 個 五邊形數，依此類推。一般多邊形數可以寫成以下形式

			(4)
			(5)

其中 是第 個 邊形數 (Savin 2000)。例如，在 (5) 中取 得到一個 三角形數， 得到一個 正方形數，等等。

多邊形數在 Wolfram 語言中實現為PolygonalNumber.

如果一個數是 -高度多邊形數，如果它是 -多邊形數，且有多於等於 種方式（從 , 4, ... 到某個上限）。那麼，直到 的前幾個 2-高度多邊形數是 1, 6, 9, 10, 12, 15, 16, 21, 28, (OEIS A090428)。類似地，直到 的前幾個 3-高度多邊形數是 1, 15, 36, 45, 325, 561, 1225, 1540, 3025, ... (OEIS A062712)。除了 1 之外，沒有小於 的這種型別的 4-高度多邊形數。

第 邊形數的生成函式由以下優美的公式給出

(6)

費馬提出，每個數都可以表示為最多 個 -多邊形數的和（費馬多邊形數定理）。費馬聲稱擁有此結果的證明，儘管該證明從未被發現。雅可比、拉格朗日（1772 年）和尤拉都證明了平方的情況，而高斯在 1796 年證明了三角形的情況。1813 年，柯西完全證明了該命題。

可以按如下方式檢查任意數字 是否為 -多邊形數。注意恆等式

(7)

因此， 必須是一個 完全平方數。因此，如果它不是，則該數字不可能是 -多邊形數。如果它是一個 完全平方數，那麼解

(8)

對於階數 ，得到

(9)

一個 -多邊形數等於相同統計階數的 -多邊形數與前一個統計階數的三角形數之和。