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五邊形數

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PentagonalNumber

形如 多邊形數 形式為 n(3n-1)/2 的數。前幾個是 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... (OEIS A000326)。五邊形數的生成函式是

(x(2x+1))/((1-x)^3)=x+5x^2+12x^3+22x^4+....

每個五邊形數都是三角形數的 1/3。

所謂的廣義五邊形數由 n(3n-1)/2 給出，其中 n=0, +/-1, +/-2, ..., 前幾個是 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, ... (OEIS A001318)。

據推測，恰好有 210 個正整數不能用三個五邊形數表示，即 4, 8, 9, 16, 19, 20, 21, 26, 30, 31, 33, 38, 42, 43, 50, 54, ..., 20250, 33066, (OEIS A007527; Guy 1994a)。

有六個正整數不能用四個五邊形數表示：9, 21, 31, 43, 55 和 89 (OEIS A133929)。

所有正整數都可以用五個五邊形數表示。

令 x_i 為與 6 互質 的數的集合，廣義五邊形數由 (x_i^2-1)/24 給出。此外，令 y_i 為 x_i 的子集，其中 x_i=5 (mod 6)，通常的五邊形數由 (y_i^2-1)/24 給出 (D. Terr, 私人通訊, 2004 年 5 月 20 日)。

另請參閱

七邊形五邊形數, 六邊形五邊形數, 八邊形五邊形數, 分拆函式 P, 五邊形數定理, 五邊形平方數, 五邊形三角形數, 多邊形數, 三角形數

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參考文獻

Guy, R. K. "每個數都可以表示為多少個多邊形數的和？" Amer. Math. Monthly 101, 169-172, 1994a.Guy, R. K. "平方和。" §C20 in 數論中未解決的問題，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 136-138, 1994b.Pappas, T. "三角形數、正方形數和五邊形數。" 數學之樂。 San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 214, 1989.Silverman, J. H. 數論友好導論。 Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1996.Sloane, N. J. A. 序列 A000326/M3818, A001318/M1336, A003679/M3323, 和 A133929 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 上被引用

五邊形數

引用為

Weisstein, Eric W. "五邊形數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PentagonalNumber.html

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