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平方數

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SquareNumber

平方數，也稱為完全平方數，是一種有形數，形式為 S_n=n^2，其中 n 是一個整數。對於 n=0, 1, ... 平方數是 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (OEIS A000290)。

SquareNumberBinaryPlot

上面顯示了前幾個平方數表示為二進位制位的序列的圖。頂部顯示了 S_1 到 S_(255)，底部顯示了接下來的 510 個值。

給出平方數的生成函式是

(x(x+1))/((1-x)^3)=x+4x^2+9x^3+16x^4+....
(1)
SquareGnomon

第 (n+1) 個平方數 S_(n+1) 可以用第 n 個平方數 S_n 表示為：

S_(n+1)=S_n+2n+1,
(2)

因為

(n+1)^2=n^2+2n+1,
(3)

這等價於在前一個正方形上新增一個日晷，如上圖所示。

SquareTriangle

第 n 個平方數等於第 (n-1) 個和第 n 個三角形數之和，

S_n=1/2(n-1)n+1/2n(n+1)
(4)
=n^2,
(5)

如上圖所示，其中第 (n-1) 個三角形數用白色三角形表示，第 n 個三角形數用黑色三角形表示，三角形的總數是平方數 S_n=n^2 (R. Sobel, 私人通訊)。

平方數也可以透過將兩個連續的偶數或奇數的乘積加 1 來生成。透過執行此操作獲得的結果是初始兩個數的平均值的平方，

(n-1)(n+1)+1=(n^2-1)+1=n^2.
(6)

作為華林問題研究的一部分，已知每個正整數都是不超過 4 個正方形的和 (g(2)=4; 拉格朗日四平方定理)，每個“足夠大的”整數都是不超過 4 個正方形的和 (G(2)=4)，並且每個整數都是至多 3 個有符號平方的和 (eg(2)=3)。實際上，用正平方表示正整數的基集是 {0,1,4,9,16,25,36,64,81,100,...}，因此永遠不需要使用 49。此外，由於無限多的 n 需要四個平方來表示它們，因此最小的 整數 G(2) 使得超過某個點的每個 正整數 都需要 G(2) 個平方由 G(2)=4 給出。

數字 n 由 k 個平方表示的表示數，區分符號和順序，表示為 r_k(n)，稱為平方和函式。表示數字 1, 2, 3, ... 所需的最小平方數是 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 2, ... (OEIS A002828)，以及用平方表示數字 1, 2, 3, ... 的不同方式的數量是 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, ... (OEIS A001156)。列舉 n 的平方分割的蠻力演算法是重複應用貪婪演算法。然而，由於表示的數量隨著 n 的增長而迅速增長，因此這種方法很快變得不切實際，如下表所示。

n平方分割
104
50104
1001116
1506521
20027482

第 n 個非平方數 a_n 由下式給出

a_n=n+|_1/2+sqrt(n)_|,
(7)

其中 |_x_| 是向下取整函式，前幾個是 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... (OEIS A000037)。

唯一同時是平方數和角錐數的數（炮彈問題）是 P_1=1 和 P_(24)=4900，分別對應於 S_1=1 和 S_(70)=4900 (Ball 和 Coxeter 1987, p. 59; Ogilvy 1988; Dickson 2005, p. 25)，正如 Lucas (1875, 1876) 所推測並由 Watson (1918) 證明的那樣。炮彈問題等價於求解丟番圖方程

y^2=1/6x(x+1)(2x+1)
(8)

(Guy 1994, p. 147)。

唯一是平方數和四面體數的數是 Te_1=1, Te_2=4, 和 Te_(48)=19600 (給出 S_1=1, S_2=4, 和 S_(140)=19600)，正如 Meyl (1878; 引自 Dickson 2005, p. 25; Guy 1994, p. 147) 所證明的那樣。一般來說，證明只有某些數字同時以兩種不同的方式成為有形數遠非易事。

要找到平方數可能的最後一位數字，將 n=10a+b 寫成十進位制記數法 ab_(10) (a, b=0, 1, ..., 9)。那麼

n^2=100a^2+20ab+b^2,
(9)

所以 n^2 的最後一位數字與 b^2 的最後一位數字相同。下表給出了 b^2 對於 b=0, 1, ..., 9 的最後一位數字（其中多於一位數字的數字僅指示其最後一位數字，即 16 變為 _6）。可以看出，最後一位數字只能是 0、1、4、5、6 或 9。

0123456789
0149_6_5_6_9_4_1

我們可以類似地檢查允許的最後兩位數字，透過將 abc_(10) 寫為

n=100a+10b+c,
(10)

所以

n^2=(100a+10b+c)^2
(11)
=100(100a^2+20ab+2ac+b^2)+(20bc+c^2),
(12)

因此，最後兩位數字必須具有 20bc+c^2 的最後兩位數字。此外，最後兩位數字可以透過僅考慮 b=0, 1, 2, 3 和 4 獲得，因為

20(b+5)c+c^2=100c+(20bc+c^2)
(13)

具有與 20bc+c^2 相同的最後兩位數字（另外一種可能性是 c=0，在這種情況下，最後兩位數字是 00）。因此，下表（添加了 00）窮盡了所有可能的最後兩位數字。

c
b123456789
0010409162536496481
1_21_44_69_96_25_56_89_24_61
2_41_84_29_76_25_76_29_84_41
3_61_24_89_56_25_96_69_44_21
4_81_64_49_36_25_16_09_04_01

因此，僅有的 22 種可能性是 00、01、04、09、16、21、24、25、29、36、41、44、49、56、61、64、69、76、81、84、89 和 96，可以簡潔地概括為 00、e1、e4、25、o6 和 e9，其中 e 代表偶數，o 代表奇數。此外，數字成為平方數的必要（但不是充分）條件是其數字根為 1、4、7 或 9。前幾個平方數的數字根是 1、4、9、7、7、9、4、1、9、1、4、9、7、... (OEIS A056992)，而數字根為 1、4、7 或 9 的數字列表是 1、4、7、9、10、13、16、18、19、22、25、... (OEIS A056991)。

在 NPR 廣播節目“汽車談話”2008 年 3 月的廣播的“謎題”專題中提到了平方數的這個性質。在這個謎題中，一個兒子告訴他的父親，他的計算機和數學老師給班級佈置了一個問題，以確定一個數字是否是完全平方數。每個學生都被分配了一個特定的數字，學生們應該編寫一個軟體程式來確定答案。兒子被分配的數字是 334912740121562。當父親認為這是一個難題時，一個旁觀者聽到了他們的對話，並表示老師給了兒子一個簡單的數字，旁觀者可以立即給出答案。問題是這個人知道什麼？答案是該數字以數字“2”結尾，這不是平方數可能的最後一位數字之一。

下表給出了平方數對於 n=1 到 20 的模 n 的可能餘數。量 s(n) 給出了給定 n 的不同餘數的數量。

ns(n)x^2 (mod n)
220, 1
320, 1
420, 1
530, 1, 4
640, 1, 3, 4
740, 1, 2, 4
830, 1, 4
940, 1, 4, 7
1060, 1, 4, 5, 6, 9
1160, 1, 3, 4, 5, 9
1240, 1, 4, 9
1370, 1, 3, 4, 9, 10, 12
1480, 1, 2, 4, 7, 8, 9, 11
1560, 1, 4, 6, 9, 10
1640, 1, 4, 9
1790, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16
1880, 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16
19100, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17
2060, 1, 4, 5, 9, 16

一般來說，奇數平方與 1 (mod 8) 同餘 (Conway 和 Guy 1996)。Stangl (1996) 給出了一個顯式公式，透過該公式可以計算 s(n) 中 Z_n（即模 n）的平方數。令 p 為一個奇數 素數。那麼 s(n) 是由下式給出的乘法函式

s(2)=2
(14)
s(p)=1/2(p+1) (p!=2)
(15)
s(p^2)=1/2(p^2-p+2) (p!=2)
(16)
s(2^n)={1/3(2^(n-1)+4) for n even; 1/3(2^(n-1)+5) for n odd
(17)
s(p^n)={(p^(n+1)+p+2)/(2(p+1)) for n>=3 even; (p^(n+1)+2p+1)/(2(p+1)) for n>=3 odd.
(18)

s(n) 與 q(n) 個 二次剩餘 在 Z_n 中的數量有關，關係如下：

q(p^n)=s(p^n)-s(p^(n-2))
(19)

對於 n>=3 (Stangl 1996)。

對於完全平方數 n，對於所有 奇數 素數 (n/p)=0 或 1 p<n，其中 (n/p) 是勒讓德符號。一個不是完全平方數但滿足此關係的數字稱為偽平方數。

在拉馬努金會議的演講中，W. Gosper 推測，四個不同的奇數平方的和是四個不同的偶數平方的和。M. Hirschhorn 使用恆等式證明了這個猜想

(4a+1)^2+(4b+1)^2+(4c+1)^2+(4d+1)^2 =4[(a+b+c+d+1)^2+(a-b-c+d)^2+(a-b+c-d)^2+(a+b-c-d)^2],
(20)

其中 a、b、c 和 d 是正或負整數。Hirschhorn 還表明，每個四個不同的奇偶平方的和都是四個不同的奇數平方的和。

素數 p 可以寫成兩個平方的和，當且僅當 p+1 不能被 4 整除時（費馬 4n+1 定理）。任意正數 n 可以表示為兩個平方的和，當且僅當，給定其素因數分解

n=p_1^(a_1)p_2^(a_2)p_3^(a_3)...p_k^(a_k),
(21)

沒有 p_i^(a_i)+1 可以被 4 整除 (Conway 和 Guy 1996, p. 147)。這等價於要求 無平方部分 n^' 的所有奇數因子 n 等於 1 (mod 4) (Hardy 和 Wright 1979, Finch)。可以表示為兩個平方和的前幾個數字是 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, ... (OEIS A001481)。令 delta(n) 為可以表示為兩個平方和的數字 <=n 的分數，

lim_(n->infty)delta(n)=0,
(22)

和

lim_(n->infty)delta(n)sqrt(lnn)=K,
(23)

其中 K 是蘭道-拉馬努金常數。

可以表示為三個平方和的數字是那些不屬於 形式 4^k(8l+7) 的數字，對於 k,l>=0 (Nagell 1951, p. 194; Wells 1986, pp. 48 和 56; Hardy 1999, p. 12)。

下表給出了前幾個需要 N=1、2、3 和 4 個平方來表示它們的和的數字 (Wells 1986, p. 70)。

N斯隆數字
1A0002901, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
2A0004152, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 26, 29, ...
3A0004193, 6, 11, 12, 14, 19, 21, 22, 24, 27, ...
4A0042157, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, ...

費馬 4n+1 定理保證每個素數，形式為 4n+1，只能以一種方式表示為兩個平方數的和。

只有 31 個數字不能表示為不同平方的和：2、3、6、7、8、11、12、15、18、19、22、23、24、27、28、31、32、33、43、44、47、48、60、67、72、76、92、96、108、112、128 (OEIS A001422; Guy 1994; Savin 2000)。以下數字不能使用少於五個不同的平方表示：55、88、103、132、172、176、192、240、268、288、304、368、384、432、448、496、512 和 752，以及所有透過將這些數字乘以 4 的冪獲得的數字。這給出了所有已知的此類小於 10^5 的數字 (Savin 2000)。所有數字 >188 都可以表示為最多五個不同平方的和，並且只有

124=1+4+9+25+36+49
(24)

和

188=1+4+9+25+49+100
(25)

需要六個不同的平方 (Bohman et al. 1979; Guy 1994, p. 136; Savin 2000)。事實上，188 也可以用七個不同的平方表示

188=1+4+9+25+36+49+64.
(26)

下表給出了可以以 W 種不同方式表示為 S 個平方和的數字。例如，

50=1^2+7^2=5^2+5^2
(27)

可以以兩種方式表示 (W=2) 透過兩個平方 (S=2)。

SW斯隆數字
11A0002901, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ...
21A0252842, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, ...
22A02528550, 65, 85, 125, 130, 145, 170, 185, 200, ...
31A0253213, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, ...
32A02532227, 33, 38, 41, 51, 57, 59, 62, 69, 74, 75, ...
33A02532354, 66, 81, 86, 89, 99, 101, 110, 114, 126, ...
34A025324129, 134, 146, 153, 161, 171, 189, 198, ...
41A0253574, 7, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, ...
42A02535831, 34, 36, 37, 39, 43, 45, 47, 49, 50, 54, ...
43A02535928, 42, 55, 60, 66, 67, 73, 75, 78, 85, 95, 99, ...
44A02536052, 58, 63, 70, 76, 84, 87, 91, 93, 97, 98, 103, ...

對於 n=1、2、...，恰好以 n 種不同方式表示為兩個平方和的最小數字由 2, 50, 325, 1105, 8125, 5525, 105625, 27625, 71825, 138125, 5281250, ... (OEIS A016032; Beiler 1966, pp. 140-141; Rubin 1977-78; Culberson 1978-79; Hardy 和 Wright 1979; Rivera) 給出。

四個不同的非零整數在等差數列中的乘積僅在 (-3, -1, 1, 3) 時為平方數，給出 (-3)(-1)(1)(3)=9 (Le Lionnais 1983, p. 53)。在等差數列中可能有三個平方數，但不能有四個 (Dickson 2005, pp. 435-440)。如果這些數字是 r^2、s^2 和 t^2，則存在正整數 p 和 q 使得

r=|p^2-2pq-q^2|
(28)
s=p^2+q^2
(29)
t=p^2+2pq-q^2,
(30)

其中 (p,q)=1 並且 r、s 或 t 之一是偶數 (Dickson 2005, pp. 437-438)。每三個平方數的等差數列都可以與一個勾股三元組 (X,Y,Z) 關聯，透過

X=1/2(r+t)
(31)
Y=1/2(t-r)
(32)
Z=s
(33)

(Robertson 1996)。

卡塔蘭猜想指出 8 和 9 (2^3 和 3^2) 是唯一的連續冪（不包括 0 和 1），即卡塔蘭丟番圖問題的唯一解。這個猜想尚未被證明或證偽，儘管 R. Tijdeman 已經證明，如果這個猜想不成立，則可能只有有限數量的例外。眾所周知，8 和 9 是唯一的連續立方數和平方數（無論順序）。

不是兩個平方差的數字是 2、6、10、14、18、... (OEIS A016825; Wells 1986, p. 76)。

平方數可以是兩個平方的串聯，如 16=4^2 和 9=3^2 給出 169=13^2 的情況。既不是平方數也不是平方數和素數之和的前幾個數字是 10、34、58、85、91、130、214、... (OEIS A020495)。

據推測，除了 10^(2n)、4×10^(2n) 和 9×10^(2n) 之外，只有有限個平方數 n^2 恰好有兩個不同的非零數字 (Guy 1994, p. 262)。前幾個這樣的 n 是 4、5、6、7、8、9、11、12、15、21、... (OEIS A016070)，對應於 16、25、36、49、64、81、121、... 的 n^2 (OEIS A018884)。

下表給出了前幾個數字，當平方時，會給出僅由某些數字組成的數字。 n 的值使得 n^2 恰好包含兩個不同的數字由 4、5、6、7、8、9、10、11、12、15、20、... (OEIS A016069) 給出，其平方為 16、25 36、49、64、... (OEIS A018885)。

數字斯隆n, n^2
1, 2, 3A0301751, 11, 111, 36361, 363639, ...
A0301741, 121, 12321, 1322122321, ...
1, 4, 6A0276771, 2, 4, 8, 12, 21, 38, 108, ...
A0276761, 4, 16, 64, 144, 441, 1444, ...
1, 4, 9A0276751, 2, 3, 7, 12, 21, 38, 107, ...
A0067161, 4, 9, 49, 144, 441, 1444, 11449, ...
2, 4, 8A0276792, 22, 168, 478, 2878, 210912978, ...
A0276784, 484, 28224, 228484, 8282884, ...
4, 5, 6A0301772, 8, 216, 238, 258, 738, 6742, ...
A0301764, 64, 46656, 56644, 66564, ...

對於三位數，一個僅包含數字 7、8 和 9 的極端例子是

9949370777987917^2 =98989978877879888789778997998889
(34)

已知沒有平方數僅包含數字 013 或 678。對於 019、039、056、079、568 和 789，已知唯一解。已知最長的是

81401637345465395512991484^2 =6626226562522666562566262626266252566552622656522256,
(35)

有 52 位數字。三位數平方問題已知解的列表由 Mishima 維護。

布朗數是滿足 布羅卡爾問題 條件的 (m,n) 整數對，即滿足

n!+1=m^2,
(36)

其中 n! 是一個階乘。僅已知三個這樣的數對：(5,4)、(11,5)、(71,7)。Erdős 推測這些是僅有的三個這樣的數對。

或者 5x^2+4=y^2 或者 5x^2-4=y^2 在 正整數 中有解 當且僅當，對於某個 n，(x,y)=(F_n,L_n)，其中 F_n 是一個 斐波那契數，L_n 是一個 盧卡斯數 (Honsberger 1985, pp. 114-118)。

包含數字 1 到 9 的最小和最大平方數是

11826^2=139854276
(37)
30384^2=923187456.
(38)

包含數字 0 到 9 的最小和最大平方數是

32043^2=1026753849,
(39)
99066^2=9814072356
(40)

(Madachy 1979, p. 159)。包含數字 1 到 9 各兩次的最小和最大平方數是

335180136^2=112345723568978496
(41)
999390432^2=998781235573146624,
(42)

以及包含數字 1 到 9 各三次的最小和最大平方數是

10546200195312^2=111222338559598866946777344
(43)
31621017808182^2=999888767225363175346145124
(44)

(Madachy 1979, p. 159)。

Madachy (1979, p. 165) 還考慮了等於其兩個“一半”的平方和的數字，例如

1233=12^2+33^2
(45)
8833=88^2+33^2
(46)
10100=10^2+100^2
(47)
5882353=588^2+2353^2,
(48)

以及許多其他數字。

另請參閱

反平方數, 雙二次數, 布羅卡爾問題, 布朗數, 炮彈問題, 卡塔蘭猜想, 中心平方數, 克拉克三角形, 立方數, 丟番圖方程, 費馬的 4n+1 定理, 貪婪演算法, 格羅斯, 七邊形平方數, 拉格朗日四平方定理, 蘭道-拉馬努金常數, 八邊形平方數, 分拆, 五邊形平方數, 偽平方數, 稜錐數, 無平方因子數, 平方三角形數, 平方和函式, 華林問題 在 課堂中探索此主題

此條目的部分內容由 Len Goodman 貢獻

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參考文獻

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在 上引用

平方數

請引用為

Goodman, Len 和 Weisstein, Eric W. "平方數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SquareNumber.html

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