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卡塔蘭猜想

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比利時數學家歐仁·查爾斯·卡塔蘭於 1844 年提出的猜想，即 8 和 9 （2^3 和 3^2）是僅有的連續冪（不包括 0 和 1）。換句話說，

3^2-2^3=1
(1)

是 卡塔蘭丟番圖問題 的唯一非平凡解

x^p-y^q=+/-1.
(2)

特殊情況 p=3 和 q=2 是 n=+/-1 的 莫德爾曲線 情況。

有趣的是，在卡塔蘭提出猜想的 500 多年前，列維·本·格森 (Levi ben Gerson) (1288-1344) 就已經注意到，顯然只相差 1 的 2 和 3 的冪是 3^2 和 2^3 (Peterson 2000)。

這個猜想在 150 多年的時間裡一直未能被證明，儘管 Hyyrő 和 Makowski 證明不存在三個連續的冪 (Ribenboim 1996)，並且也已知 8 和 9 是僅有的連續立方數和平方數（無論順序如何）。最終，在 2002 年 4 月 18 日，Mihăilescu 向幾位數學家傳送了一份手稿，證明了整個猜想 (van der Poorten 2002)。該證明現已印刷出版 (Mihăilescu 2004)，並被廣泛接受為正確有效 (Daems 2003, Metsänkylä 2003)。

Tijdeman (1976) 表明，如果猜想不成立，則可能只有有限數量的例外。最近的進展表明，這個問題在有限（但比天文數字還大）的步驟中是可判定的，並且特別地，如果 n 和 n+1 是 冪，則 n<expexpexpexp730 (Guy 1994, p. 155)。 1999 年，M. Mignotte 表明，如果存在非平凡解，則 p<7.15×10^(11), q<7.78×10^(16) (Peterson 2000)。

人們還知道，如果方程存在其他解，則要麼指數 (p,q) 必須是 雙維費裡奇素數對，要麼 p 和 q 必須滿足類數可除性條件 (Steiner 1998)。對這個類數條件的約束不斷改進，從 Inkeri (1964) 開始，一直到 Steiner (1998) 的工作。然後，在 1999 年春天，Bugeaud 和 Hanrot 證明了最弱的類數條件無條件成立（即，無論 p 和 q 是否為 雙維費裡奇素數對）。隨後，在 2000 年秋季，Mihailescu 證明 雙維費裡奇素數對 條件也必須無條件成立 (Peterson 2000)。

推廣到相差一個單位的高斯整數由下式給出

(78+78i)^2-(-23i)^3=i.
(3)

參見

卡塔蘭丟番圖問題, 雙維費裡奇素數對, 費馬-卡塔蘭猜想, 費馬三明治定理, 莫德爾曲線, 冪方程

使用 探索

參考文獻

Bilu, Y. F. "Catalan's Conjecture (After Mihăilescu)." Astérisque, No. 294, 1-26, 2004.Bilu, Y. F. "Catalan Without Logarithmic Forms (after Bugeaud, Hanrot and Mihăilescu)." J. Théor. Nombres Bordeaux 17, 69-85, 2005.Catalan, E. "Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur." J. reine angew. Math. 27, 192, 1844.Daems, J. "A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture." Sept. 29, 2003. http://www.math.leidenuniv.nl/~jdaems/scriptie/Catalan.pdf.Guy, R. K. "Difference of Two Power." §D9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 155-157, 1994.Inkeri, K. "On Catalan's Problem." Acta Arith. 9, 285-290, 1964.Metsänkylä, T. "Catalan's Conjecture: Another Old Diophantine Problem Solved." Bull. Amer. Math. Soc. 41, 43-57, 2003.Mihăilescu, P. "A Class Number Free Criterion for Catalan's Conjecture." J. Number Th. 99, 225-231, 2003.Mihăilescu, P. "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture." J. reine angew. Math. 572, 167-195, 2004.Peterson, I. "MathTrek: Zeroing In on Catalan's Conjecture." Dec. 4, 2000. http://www.sciencenews.org/20001202/mathtrek.asp.Ribenboim, P. "Consecutive Powers." Expositiones Mathematicae 2, 193-221, 1984.Ribenboim, P. Catalan's Conjecture: Are 8 and 9 the only Consecutive Powers? Boston, MA: Academic Press, 1994.Ribenboim, P. "Catalan's Conjecture." Amer. Math. Monthly 103, 529-538, 1996.Steiner, R. "Class Number Bounds and Catalan's Equation." Math. Comput. 67, 1317-1322, 1998.Tijdeman, R. "On the Equation of Catalan." Acta Arith. 29, 197-209, 1976.van der Poorten, A. "Concerning: Catalan's Conjecture Proved?." 5 May 2002. http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0205&L=nmbrthry&P=269.Weisstein, E. W. "Draft Proof of Catalan's Conjecture Circulated." Headline News, May 5, 2002. https://mathworld.tw/news/2002-05-05/catalan/.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, pp. 71 and 73, 1986.

請引用為

Weisstein, Eric W. "卡塔蘭猜想。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CatalansConjecture.html

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