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莫德爾曲線

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形如 y^2=x^3+n 的橢圓曲線，其中 n 為整數。對於所有非零 n，此方程在整數解的數量是有限的。如果 (x,y) 是一個解，那麼 (x,-y) 也是一個解。

MordellCurve

Uspensky 和 Heaslet (1939) 給出了 n=-4、-2 和 2 的基本解，然後將 n=-1、-5、-6 和 1 作為練習。尤拉發現，特殊情況 n=1（卡塔蘭猜想的一個特例）的唯一整數解是 (x,y)=(-1,0)、(0,+/-1) 和 (2,+/-3)。這可以使用 Skolem 方法證明，使用 Thue 方程 x^3-2y^3=+/-1，使用 2-下降法證明橢圓曲線的秩為 0，等等。它在 Uspensky 和 Heaslet (1939, p. 413) 中作為練習 6b 給出，並且 Wakulicz (1957)、Mordell (1969, p. 126)、Sierpiński 和 Schinzel (1988, pp. 75-80) 以及 Metsaenkylae (2003) 發表了證明。

下表總結了對於小的 n，0<y<10^5 的 Mordell 曲線的解。

n解
1(-1,0),(0,1),(2,3)
2(-1,1)
3(1,2)
4(0,2)
5(-1,2)
6無
7無
8(-2,0),(1,3),(2,4),(46,312)
9(-2,1),(0,3),(3,6),(6,15),(40,253)
10(-1,3)

使得 Mordell 曲線沒有整數解的 n 值由 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... 給出 (OEIS A054504; Apostol 1976, p. 192)。

另請參閱

卡塔蘭猜想, 卡塔蘭丟番圖問題, 橢圓曲線

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. M. 解析數論導論。 New York: Springer-Verlag, 1976.Cohen, H. "y^2=x^3+1." 2003年11月24日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L=nmbrthry&F=&S=&P=1197.Conrad, M. 無題。 http://emmy.math.uni-sb.de/~simath/MORDELL/MORDELL+.Gebel, J. "關於莫德爾曲線的資料。" http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/.Gebel, J.; Pethő, A.; and Zimmer, H. G. "關於莫德爾方程。" Compos. Math. 110, 335-367, 1998.Llorente, P. and Quer, J. "關於二次域類群的 3-Sylow 子群。" Math. Comput. 50, 321-333, 1988.Mestre, J.-F. "給定不變數的橢圓曲線的秩。" C.R. Acad. Sci. Paris 314, 919-922, 1992.Mestre, J.-F. "不變數為零的橢圓曲線的秩。" C.R. Acad. Sci. Paris 321, 1235-1236, 1995.Metsaenkylae, T. "卡塔蘭猜想：另一個古老的丟番圖問題得到解決。" Bull. Amer. Math. Soc. S 0273-0979(03)00993-5, 2003年9月5日。Mordell, L. J. 丟番圖方程。 London: Academic Press, 1969.Myerson, G. "回覆：y^2=x^3+1。" 2003年11月24日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L=nmbrthry&F=&S=&P=1290.Quer, J. "3-秩為 6 的二次域和秩為 12 的橢圓曲線。" C.R. Acad. Sci. Paris. Sér. 1 Math. 305, 215-218, 1987.Sierpiński, W. and Schinzel, A. 初等數論，第二版，英文版。 Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1988.Sloane, N. J. A. 序列 A054504，在“整數序列線上百科全書”中。Szymiczek, K. "回覆：y^2=x^3+1。" 2003年11月26日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L=nmbrthry&F=&S=&P=1492.Uspensky, J. V. and Heaslet, M. A. 初等數論。 New York: McGraw-Hill, 1939.Wakulicz, A. "關於方程 x^3+y^3=2z^3。" Colloq. Math. 5, 11-15, 1957.Womack, T. "給定秩的莫德爾曲線的最小已知正負 k。" http://www.maths.nott.ac.uk/personal/pmxtow/mordellc.htm.

請引用為

Weisstein, Eric W. “莫德爾曲線。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MordellCurve.html

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