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橢圓曲線

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通俗地說，橢圓曲線是一種 三次曲線，其解被限制在拓撲等價於 環面 的空間區域內。 Weierstrass 橢圓函式 P(z;g_2,g_3) 描述瞭如何從這個 環面 得到橢圓曲線的代數形式。

形式上，域 K 上的橢圓曲線是兩個變數的非奇異 三次曲線 f(X,Y)=0，具有 K-有理點（可能是 無窮遠點）。域 K 通常取為 複數 C，實數 R，有理數 Q，Q 的代數擴張，p-adic 數 Q_p，或 有限域。

透過適當的變數替換，特徵 !=2,3 的 域 上的通用橢圓曲線，通用 三次曲線

Ax^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3+Ex^2+Fxy+Gy^2+Hx+Iy+J=0,
(1)

其中 A、B、... 是 K 的元素，可以寫成以下形式

y^2=x^3+ax+b,
(2)

其中 (2) 式的右側沒有重複因子。任何特徵不為 2 或 3 的橢圓曲線也可以寫成 勒讓德標準形

y^2=x(x-1)(x-lambda)
(3)

(Hartshorne 1999)。

EllipticCurves

上面展示了不同 a 和 b 值的橢圓曲線。

如果 K 的 特徵 為 3，那麼最好的情況是將曲線轉換為

y^2=x^3+ax^2+bx+c
(4)

（x^2 項無法消除）。如果 K 的 特徵 為 2，那麼情況更糟。任何 K 上橢圓曲線可以轉換成的通用形式稱為 Weierstrass 形式，由下式給出

y^2+ay=x^3+bx^2+cxy+dx+e,
(5)

其中 a、b、c、d 和 e 是 K 的元素。幸運的是，Q、R 和 C 的 特徵 均為零。

對於整數 n，形式為 y^2=x^3+n 的橢圓曲線稱為 Mordell 曲線。

雖然 圓錐曲線 可以用有理函式引數化，但橢圓曲線不能。最簡單的引數化函式是 橢圓函式。阿貝爾簇 可以看作是橢圓曲線的推廣。

EllipticCurve

如果橢圓曲線的基礎 域 是代數閉域，則直線與橢圓曲線相交於三個點（在切點處計算重根）。如果已知兩個點，則可以計算出第三個點。如果兩個交點是 K-有理點，那麼第三個點也是。 Mazur 和 Tate (1973/74) 證明，在 Q 上不存在階數為 13 的 有理點 的橢圓曲線。

令 (x_1,y_1) 和 (x_2,y_2) 是橢圓曲線 E 上的兩個點，橢圓判別式 為

Delta_E=-16(4a^3+27b^2)
(6)

滿足

Delta_E!=0.
(7)

一個相關的量，稱為 j-不變數 E，定義為

j(E)=(2^83^3a^3)/(4a^3+27b^2).
(8)

現在定義

lambda={(y_1-y_2)/(x_1-x_2) for x_1!=x_2; (3x_1^2+a)/(2y_1) for x_1=x_2.
(9)

那麼第三個點的座標是

x_3=lambda^2-x_1-x_2
(10)
y_3=lambda(x_3-x_1)+y_1.
(11)

對於 Q 上的橢圓曲線，Mordell 證明了積分解的數量是有限的。Mordell-Weil 定理 指出，Q 上橢圓曲線的 有理點 群 是有限生成的。令 y^2 的 根 為 r_1、r_2 和 r_3。那麼判別式為

Delta=k(r_1-r_2)^2(r_1-r_3)^2(r_2-r_3)^2.
(12)

令人驚歎的 谷山-志村猜想 指出，所有有理橢圓曲線也是模的。這個事實遠非顯而易見，儘管該猜想是在 1955 年提出的，但直到 1995 年才被部分證明。即便如此，Wiles 對半穩定情況的證明仍然讓大多數數學家感到驚訝，他們曾認為這個猜想是不可攻克的。作為額外的收穫，Wiles 對 谷山-志村猜想 的證明也解決了困擾數學家數百年的著名且棘手的問題——費馬最後定理。

具有小 j-導子 的曲線列在 Swinnerton-Dyer (1975) 和 Cremona (1997) 中。 Gebel 等人以及 Stroeker 和 Tzanakis (1994) 給出了計算積分點（具有積分座標的點）的方法。Schoof-Elkies-Atkin 演算法 可用於確定有限域 F_p 上橢圓曲線 E/F_p 的階。

另請參閱

三次曲線, 橢圓曲線分解法, 橢圓曲線群法則, 費馬最後定理, Frey 曲線, j-不變數, 勒讓德標準形, 最小判別式, Mordell 曲線, Mordell-Weil 定理, Ochoa 曲線, Ribet 定理, Schoof-Elkies-Atkin 演算法, Siegel 定理, Swinnerton-Dyer 猜想, 谷山-志村猜想, Weierstrass 橢圓函式, Weierstrass 形式 在 課堂中探索這個主題

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參考文獻

Atkin, A. O. L. and Morain, F. "Elliptic Curves and Primality Proving." Math. Comput. 61, 29-68, 1993.Cassels, J. W. S. 橢圓曲線講義。 New York: Cambridge University Press, 1991.Cremona, J. E. 模橢圓曲線演算法，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1997.Cremona, J. E. "橢圓曲線資料。" http://modular.fas.harvard.edu/cremona/INDEX.html.Du Val, P. 橢圓函式與橢圓曲線。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1973.Fermigier, S. "關於橢圓曲線和相關主題研究文章的連結集合。" http://www.fermigier.com/fermigier/elliptic.html.en.Gebel, J.; Pethő, A.; and Zimmer, H. G. "計算橢圓曲線上的積分點。" Acta Arith. 68, 171-192, 1994.Hartshorne, R. 代數幾何。 New York: Springer-Verlag, 1999.Ireland, K. and Rosen, M. "橢圓曲線。" 第 18 章，現代數論經典導論，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 297-318, 1990.Joye, M. "關於橢圓曲線的一些有趣參考文獻。" http://www.geocities.com/MarcJoye/biblio_ell.html.Katz, N. M. and Mazur, B. 橢圓曲線的算術模。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1985.Knapp, A. W. 橢圓曲線。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992.Koblitz, N. 橢圓曲線與模形式導論。 New York: Springer-Verlag, 1993.Lang, S. 橢圓曲線：丟番圖分析。 Berlin: Springer-Verlag, 1978.Mazur, B. and Tate, J. "橢圓曲線上階數為 13 的點。" Invent. Math. 22, 41-49, 1973/74.McKean, H. and Moll, V. 橢圓曲線：函式論、幾何、算術。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Riesel, H. "橢圓曲線。" 附錄 7，素數與計算機分解方法，第二版。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 317-326, 1994.Silverman, J. H. 橢圓曲線的算術。 New York: Springer-Verlag, 1986.Silverman, J. H. 橢圓曲線的算術 II。 New York: Springer-Verlag, 1994.Silverman, J. H. and Tate, J. T. 橢圓曲線上的有理點。 New York: Springer-Verlag, 1992.Stillwell, J. "橢圓曲線。" Amer. Math. Monthly 102, 831-837, 1995.Stroeker, R. J. and Tzanakis, N. "透過估計橢圓對數中的線性形式求解橢圓丟番圖方程。" Acta Arith. 67, 177-196, 1994.Swinnerton-Dyer, H. P. F. "更正：'關於模形式係數的 1-adic 表示和同餘'。" 在 單變數模函式，第 4 卷，國際理論物理暑期學校論文集，安特衛普大學，安特衛普，RUCA，1972 年 7 月至 8 月。 Berlin: Springer-Verlag, 1975.Weisstein, E. W. "關於橢圓曲線的書籍。" http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/EllipticCurves.html.

在 中引用

橢圓曲線

請引用為

Weisstein, Eric W. “橢圓曲線。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/EllipticCurve.html

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