三次曲線

三次曲線是代數曲線，其曲線階數為 3。在域 上的代數曲線是一個方程 ，其中 是關於 和 的多項式，其係數在 中，並且 的次數是其各項（單項式）的最大次數。

例子包括 丟克勒斯蔓葉線、德·斯呂茲蚌線、笛卡爾葉形線、馬克勞林三等分線、馬耳他十字曲線、直角螺線、半立方拋物線、蛇形線、契爾恩豪森三次曲線 和 阿涅西的女巫，以及 橢圓曲線，例如 莫德爾曲線 和 奧喬亞曲線。

牛頓證明了所有的三次曲線都可以透過五個發散三次拋物線的投影生成。牛頓對三次曲線的分類出現在約翰·哈里斯於 1710 年在倫敦出版的Lexicon Technicum中的“曲線”章節中。牛頓還將所有三次曲線分為 72 種類型，遺漏了其中的六種。此外，他還表明，任何三次曲線都可以透過 橢圓曲線 的適當投影獲得

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其中投影是雙有理變換，並且一般三次曲線也可以寫成

(2)

牛頓的第一類是形式為的方程

(3)

這是最難的情況，包括 蛇形線 作為子情況之一。第三類是

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這被稱為牛頓發散拋物線。牛頓的第 66 條曲線是 牛頓三叉線。尤拉批評牛頓對三次曲線的分類，因為它缺乏普遍性。普呂克後來給出了更詳細的分類，共有 219 種類型。

九個關聯點定理指出，任何經過兩條給定三次曲線的九個交點中的八個的三次曲線，都自動經過第九個交點（Evelyn et al. 1974, p. 15）。

選擇一個點 ，並繪製曲線在 處的切線。將這條切線與曲線相交的點稱為 。繪製另一條切線，並將與曲線的交點稱為 。每條三次曲線都具有以下性質，在上面的標記圖中，面積之間存在關係：

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(Honsberger 1991)。