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狄奧克勒斯雙紐線

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CissoidofDiocles

一種三次曲線，由狄奧克勒斯於公元前 180 年左右發明，與其通過幾何方法倍立方體的嘗試有關。“雙紐線”這個名稱首次出現在約 100 年後格米努斯的作品中。費馬和羅伯瓦爾於 1634 年構造了切線。從給定點出發，可以有一條或三條切線到雙紐線。

給定原點 O 和曲線上一點 P，設 S 為直線 OP 的延長線與直線 x=2a 的交點，R 為半徑為 a、圓心為 (a,0) 的圓與 OP 延長線的交點。那麼，狄奧克勒斯雙紐線是滿足 OP=RS 的曲線。

狄奧克勒斯雙紐線是一條拋物線頂點在另一條相等的拋物線上滾動時，該拋物線頂點的滾跡線。牛頓給出了一種繪製狄奧克勒斯雙紐線的方法，使用兩條等長且互相垂直的線段。如果移動它們，使一條線始終穿過一個固定點，而另一條線段的末端沿直線滑動，則滑動線段的中點會描繪出狄奧克勒斯雙紐線。

狄奧克勒斯雙紐線由引數方程給出

x=2asin^2t
(1)
y=(2asin^3t)/(cost)
(2)

對於 -pi/2<t<pi/2 (Lawrence 1972, p. 99)。將這些轉換為極座標得到

r=2asinthetatantheta.
(3)

作為隱式方程，

(x^3)/(2a-x)=y^2
(4)

這等價於

x(x^2+y^2)=2ay^2.
(5)

另一種等價於上述引數化的形式由下式給出

x=(2at^2)/(1+t^2)
(6)
y=(2at^3)/(1+t^2)
(7)

(Yates 1952, p. 27)。

狄奧克勒斯雙紐線在原點有一個尖點，垂直漸近線為 x=2a。

正如惠更斯和沃利斯在 1658 年發現的那樣，曲線與其垂直漸近線之間的面積為

A=2int_0^(2a)sqrt((x^3)/(2a-x))dx
(8)
=3pia^2
(9)

(MacTutor 檔案館)。

在此引數化中，弧長、曲率和切線角由下式給出

s(t)=a[-4+sqrt(3)ln2+2sqrt(3)ln(2+sqrt(3))-2sqrt(3)ln[sqrt(6)cost+sqrt(5+3cos(2t))]+sqrt(10+6cos(2t))sect]
(10)
kappa(t)=(3tan^2t)/(a(sec^4t+2sec^2t-3)^(3/2))
(11)
phi(t)=2tan^(-1)t-tan^(-1)(1/2t)
(12)

對於 a>0 和 -pi/2<t<pi/2。

另一種引數形式是

x(t)=(2at^2)/(1+t^2)
(13)
y(t)=(2at^3)/(1+t^2)
(14)

(Gray 1997) 對於 t in (-infty,infty)。在此引數化中，弧長、曲率和切線角為

s(t)=2a[sqrt(t^2+4)-2+sqrt(3)tanh^(-1)(2/(sqrt(3)))-sqrt(3)tanh^(-1)(sqrt((t^2+4)/3))]
(15)
kappa(t)=3/(a|t|(t^2+4)^(3/2))
(16)
phi(t)=2t-cot^(-1)(2cott)
(17)

對於 a>0 和 t>0。

另請參閱

雙紐線, 狄奧克勒斯雙紐線的折射包絡線, 狄奧克勒斯雙紐線的反曲線, 狄奧克勒斯雙紐線的垂足曲線, 海蛇線

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學手冊，第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 214, 1987.Gray, A. "狄奧克勒斯雙紐線。" §3.5 in 基於 Mathematica 的曲線和曲面的現代微分幾何，第 2 版 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 57-61, 1997.Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄 New York: Dover, pp. 98-100, 1972.Lockwood, E. H. 曲線之書 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 130-133, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "狄奧克勒斯雙紐線。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cissoid.html.Smith, D. E. 數學史，第 2 卷：初等數學專題。 New York: Dover, p. 327, 1958.Wells, D. 企鵝好奇有趣的數字詞典 Middlesex, England: Penguin Books, p. 34, 1986.Yates, R. C. "雙紐線。" 曲線及其性質手冊 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 26-30, 1952.

引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "狄奧克勒斯雙紐線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CissoidofDiocles.html

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