極座標

極座標 (徑向座標) 和 (角座標，通常稱為極角) 是根據笛卡爾座標定義的，透過

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其中 是從原點的徑向距離，而 是從x軸逆時針方向的角度。用 和 表示，

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(這裡， 應解釋為雙引數反正切函式，它考慮 和 的符號，以確定 所在的象限。) 由此立即得出，極座標並非本質上是唯一的；特別地，對於任何整數 ， 將與 完全是相同的極座標點。更重要的是，人們常常允許 的負值，前提是 的繪製方式與 相同。

將點表示為有序對 稱為極座標表示法，用極座標表示的曲線方程稱為極座標方程，而極座標曲線的繪圖稱為極座標圖。

正如笛卡爾曲線可以在直線座標軸上繪製一樣，極座標圖也可以在徑向座標軸上繪製，如上圖所示。

由 給出的極座標曲線的弧長是

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線元素由下式給出

(6)

面積元素由下式給出

(7)

由極座標曲線 圍成的面積是

(8)

極座標函式 在點 處的斜率由下式給出

(9)

在點 處，切線和徑向線之間的角度是

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如果在極座標曲線的方程中用 替換 後得到等價方程，則該極座標曲線關於x軸對稱；如果在其方程中用 替換 後得到等價方程，則該極座標曲線關於y軸對稱；如果在其方程中用 替換 後得到等價方程，則該極座標曲線關於原點對稱。

在笛卡爾座標中，半徑向量 是

(11)

給出導數

(12)

它的單位向量是

(13)

給出導數

(14)

在極座標中，半徑向量由下式給出

(15)

給出導數

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			(17)
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			(19)

單位向量是

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給出導數

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透過尤拉公式，複數 根據其復模 和其復角 的圖形表示與極座標密切相關。實際上，阿根圖 這樣的 可以很容易地看出類似於通常的極座標圖。