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半立方拋物線

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SemicubicalParabola

半立方拋物線是形如以下的曲線

y=+/-ax^(3/2)
(1)

(即，它是半個立方，因此具有 3/2 的冪次)。它具有引數方程

x=t^2
(2)
y=at^3,
(3)

和極座標方程

r=(tan^2thetasectheta)/a.
(4)

拋物線的漸屈線是半立方拋物線的一個特例，也稱為奈爾拋物線或尖點三次曲線。在笛卡爾座標系中，它具有方程

x=3/4(2y)^(2/3)+1/2,
(5)

也可以寫成

(x-1/2)^3=3y^2.
(6)

契爾恩豪森三次反射曲線也是一條半立方拋物線。

半立方拋物線是粒子在重力作用下下降時，在相等時間內描述相等垂直間距的曲線，使其成為等時曲線。它由威廉·尼爾於 1657 年發現，是第一個被計算出弧長的非平凡代數曲線。沃利斯在 1659 年發表了該方法，並將功勞歸於尼爾（MacTutor 檔案館）。萊布尼茨在 1687 年提出了尋找具有此屬性的曲線的問題，惠更斯也解決了這個問題（MacTutor 檔案館）。

半立方拋物線是勒讓德標準型 橢圓曲線族的奇異成員

y^2=x(x-1)(x-lambda).
(7)

對於t>0，弧長、曲率和切線角為

s(t)=1/(27)(4+9t^2)^(3/2)-8/(27)
(8)
kappa(t)=6/(t(4+9t^2)^(3/2))
(9)
phi(t)=tan^(-1)(3/2t).
(10)

另請參閱

橢圓曲線, 勒讓德標準型, 拋物線, 拋物線漸伸線

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 博卡拉頓，佛羅里達州：CRC Press，第 223-224 頁，1987 年。Gray, A. "半立方拋物線。" §1.8 在 使用 Mathematica 的現代曲線和曲面微分幾何，第 2 版。 博卡拉頓，佛羅里達州：CRC Press，第 21-22 頁，1997 年。Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄。 紐約：多佛出版社，第 85-87 頁，1972 年。MacTutor 數學史檔案館。“尼爾半立方拋物線。” http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Neiles.html.Smith, D. E. 數學史，第 2 卷：初等數學的特殊主題。 紐約：多佛出版社，第 330 頁，1958 年。Yates, R. C. "半立方拋物線。" 曲線及其性質手冊。 安娜堡，密歇根州：J. W. Edwards，第 186-187 頁，1952 年。

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. “半立方拋物線。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SemicubicalParabola.html

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