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阿涅西的女巫曲線

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WitchOfAgnesi

“阿涅西的女巫曲線”是由瑪麗亞·阿涅西於 1748 年在她的著作《Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana》（第一部由女性撰寫的現存數學著作）中研究的曲線。這條曲線也被稱為阿涅西三次曲線或阿涅西曲線，並且早先在 1703 年已被費馬和圭多·格蘭迪研究過。

“女巫”這個名字源於對原始著作中術語 averisera （“正矢曲線”，來自拉丁語 vertere，“轉動”）的誤譯，在 1801 年劍橋盧卡斯數學教授約翰·科爾森 (Gray) 對該著作的翻譯中，被誤譯為 avversiera （“女巫”或“魔鬼的妻子”）。

Witch of Agnesi construnction

該曲線是透過從原點繪製一條線 OB，穿過半徑為 a，中心為 (0,a) 的圓而獲得的，然後選取與圓的交點的 y 座標，以及線 OB 的延長線與直線 y=2a 的交點的 x 座標來確定曲線上的點。

引數形式為，

x=2acott
(1)
y=a[1-cos(2t)],
(2)

對於 t in (0,pi), 或

x=2at
(3)
y=(2a)/(1+t^2)
(4)

對於 t in (-infty,infty).

笛卡爾方程可以透過在引數方程中消去 t 得到，為

y=(8a^3)/(x^2+4a^2),
(5)

這在函式形式上等價於洛倫茲函式。

曲線與 x 軸之間的面積為

A=4a^2pi.
(6)

該曲線在 (x,y)=(+/-2asqrt(3)/3,3a/2) 處有拐點。直線 y=0 是該曲線的漸近線。

第二種引數化中的曲率和切線角由下式給出

kappa(t)=((1+t^2)^3(3t^2-1))/(a(t^8+4t^6+6t^4+8t^2+1)^(3/2))
(7)
phi(t)=-tan^(-1)[(2t)/((1+t^2)^2)].
(8)

另請參閱

高斯函式, 雙曲正割, 拉梅曲線, 洛倫茲函式

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參考文獻

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 226, 1987.Gray, S. "History of the Name 'Witch.' " http://instructional1.calstatela.edu/sgray/Agnesi/WitchHistory/Historynamewitch.html.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 90-93, 1972.MacTutor History of Mathematics Archive. "Witch of Agnesi." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Witch.html.Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 331, 1958.Yates, R. C. "Witch of Agnesi." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 237-238, 1952.

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "阿涅西的女巫曲線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/WitchofAgnesi.html

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