費馬最後定理

費馬最後定理是費馬首次提出的一個定理，以註釋的形式潦草地寫在他所藏的古希臘數學家丟番圖的《算術》的頁邊空白處。這個潦草的註釋是在他去世後才被發現的，原件現已遺失。然而，一個副本被儲存在費馬的兒子出版的一本書中。在註釋中，費馬聲稱他發現了一個證明，證明丟番圖方程 對於 和 沒有整數解。

費馬陳述的完整文字是用拉丁文寫的，內容為 "Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet" (Nagell 1951, p. 252)。翻譯過來是：“不可能將一個立方數分成兩個立方數之和，或將一個四次方數分成兩個四次方數之和，或者更普遍地，不可能將任何大於二次方的冪分成兩個同次冪之和。我已經發現了這個命題的一個真正奇妙的證明，但這個頁邊太窄，無法容納。”

由於費馬的頁邊註釋，命題 丟番圖方程

(1)

其中 ， ， 和 是整數，對於 沒有非零解，因此被稱為費馬最後定理。儘管數百年來沒有其他數學家能夠證明它，但由於費馬的陳述，它被稱為“定理”。

請注意，限制條件 顯然是必要的，因為有很多基本公式可以生成無限多個勾股數 滿足方程 ,

(2)

解決該方程的第一個嘗試可以透過嘗試分解方程來實現，得到

(3)

由於乘積是一個精確的冪，

(4)

求解 和 得到

(5)

這給出

(6)

然而，由於在有理數中求解這些方程並不比求解原始方程更容易，因此不幸的是，這種方法沒有提供任何額外的見解。

如果一個奇素數 整除 ，則可以進行約簡

(7)

因此重新定義引數得到

(8)

如果沒有奇素數整除 ，則 是 2 的冪，因此 ，在這種情況下，方程 (7) 和 (8) 可以用 4 代替 。由於費馬證明了 的情況無解，因此只需考慮奇素數冪即可證明費馬最後定理。

類似地，只需證明費馬最後定理，只需考慮互質的 ， 和 ，因為方程 (1) 中的每一項都可以被 除，其中 是最大公約數。

該定理的所謂“第一種情況”是針對與 ， 和 互質的指數 ()，並由維費裡希考慮。索菲·熱爾曼證明了對於任何奇素數 ，當 也是一個素數時，費馬最後定理的第一種情況成立。隨後勒讓德證明，如果 是一個素數，使得 ， ， ， 或 也是一個素數，那麼費馬最後定理的第一種情況對於 成立。這確立了費馬最後定理對於 成立。1849 年，庫默爾證明了對於所有正則素數和它們作為因子的合數，該定理成立（Vandiver 1929，Ball 和 Coxeter 1987）。

費馬最後定理的“第二種情況”是“ 恰好整除 ， ， 中的一個”。請注意， 被 ， ， 互質所排除，並且如果 整除 ， ， 中的兩個，那麼根據方程 (8)，它也整除第三個。

庫默爾的攻擊導致了理想理論的產生，範迪弗發展了範迪弗判據，用於判斷給定的非正則素數是否滿足該定理。1852 年，熱諾基證明了如果 且 不是一個非正則對，則第一種情況成立。1858 年，庫默爾表明，如果 或 是一個非正則對，則第一種情況成立，後來米里馬諾夫 (1909) 將其擴充套件到包括 和 。範迪弗 (1920ab) 指出了庫默爾回憶錄中的漏洞和錯誤，他認為這些漏洞和錯誤使庫默爾對非正則素數 37、59 和 67 的費馬最後定理的證明無效，儘管他聲稱米里馬諾夫對指數 37 的 FLT 的證明仍然有效。

維費裡希 (1909) 證明，如果方程在與奇素數 互質的整數中求解，則

(9)

（Ball 和 Coxeter 1987）。這樣的數被稱為維費裡希素數。米里馬諾夫 (1909) 隨後表明

(10)

對於與奇素數 互質的解也必須成立，這排除了前兩個維費裡希素數 1093 和 3511。1914 年，範迪弗表明

(11)

弗羅貝尼烏斯將其擴充套件為

(12)

還表明，如果 是素數，形式為 ，則

(13)

這在 1941 年將“第一種情況”中最小可能的 提高到 （Rosser 1941）。格蘭維爾和莫納甘 (1988) 表明，如果存在滿足費馬最後定理的素數 ，則

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對於 、7、11、...、71。這確立了第一種情況對於所有高達 的素數指數都成立（Vardi 1991）。

費馬最後定理的“第二種情況”（對於 ）比第一種情況更難證明。

尤拉證明了定理對於 的一般情況，費馬證明了 的情況，狄利克雷和拉格朗日證明了 的情況。1832 年，狄利克雷確立了 的情況。 的情況由拉梅 (1839；Wells 1986, p. 70) 使用恆等式證明：

(15)

儘管此證明中存在一些錯誤，但這些錯誤隨後在 1840 年被勒貝格修正。在接下來的 150 年中取得了更多進展，但尚未獲得完全普遍的結果。數學家林德曼在證明 pi 是超越數後，錯誤地充滿信心，著手發表了幾個費馬最後定理的證明，但這些證明都是無效的（Bell 1937, pp. 464-465）。還為第一個有效的證明提供了 10 萬德國馬克的獎金，稱為沃爾夫斯克爾獎（Ball 和 Coxeter 1987, p. 72；Barner 1997；Hoffman 1998, pp. 193-194 和 199）。

最近，宮岡洋一 (Cipra 1988) 提出的一個一般證明引起了虛驚，但事實證明他的證明是有缺陷的。沃斯·薩文特 (1993) 討論了專業和業餘數學家嘗試的其他證明，儘管沃斯·薩文特錯誤地聲稱懷爾斯（下面討論）在該問題上的工作是無效的。到 1993 年，費馬最後定理的一般情況已被證明對於所有高達 的指數都成立（Cipra 1993）。然而，鑑於費馬最後定理的證明需要對所有指數都成立，因此對任何有限數量指數的證明都不能構成證明一般定理的任何重大進展（儘管在如此多的情況下沒有發現反例這一事實極具啟發性）。

1993 年，一顆重磅炸彈被投下。在那一年，安德魯·懷爾斯 (Cipra 1993, Stewart 1993) 透過證明谷山-志村猜想的半穩定情況，部分證明了一般定理。不幸的是，在懷爾斯透過谷山-志村猜想的方法在使用稱為尤拉系統的工具時陷入塞爾默群的屬性後不久，在該證明中發現了一些漏洞。然而，懷爾斯和 R. 泰勒在 1994 年底繞過了這個困難（Cipra 1994, 1995），並在 Taylor 和 Wiles (1995) 以及 Wiles (1995) 中發表。懷爾斯的證明成功之處在於：(1) 用伽羅瓦表示代替橢圓曲線，(2) 將問題簡化為類數 公式，(3) 證明該公式，以及 (4) 解決由於形式主義在最簡單的退化情況下失敗而引起的漏洞（Cipra 1995）。

費馬最後定理的證明標誌著一個數學時代的結束。由於最終用於解決該問題的所有工具幾乎都是在費馬時代之後才發明的，因此推測他是否真的掌握了該定理的初等證明是很有趣的。從這個問題長期以來頑強抵抗攻擊的韌性來看，費馬所謂的證明似乎很可能是虛幻的。費馬尋找 和 情況的證明進一步支援了這一結論，如果他真的掌握了一般證明，那麼這樣做將是多餘的。

在動畫電視節目辛普森一家第 7 季第 6 集（“萬聖節特輯 VI”）名為 的片段中，方程 在背景中出現了一次。展開式顯示只有前 9 位數字匹配 (Rogers 2005)。辛普森一家第 10 季第 2 集（“常綠臺地的巫師”）提到了 ，它在前 10 位小數位上匹配 (Greenwald)。這兩個表示式都導致了幾乎是整數的表示式。在星際迷航：下一代劇集“皇家賭場”的開頭，皮卡德艦長提到研究費馬最後定理是一個放鬆的過程。