Pi

常數 pi，用 表示，是一個 實數，定義為 圓的 周長 與其 直徑 的比率，

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的十進位制展開式為

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(OEIS A000796)。Pi 的數字 有許多有趣的性質，儘管對其解析性質知之甚少。然而，spigot 演算法（Rabinowitz 和 Wagon 1995；Arndt 和 Haenel 2001；Borwein 和 Bailey 2003，第 140-141 頁）和 數字提取演算法（BBP 公式）是 已知的。

Castellanos (1988ab) 簡要介紹了 pi 的 符號 歷史。 有時被稱為阿基米德常數或魯道夫常數，以紀念荷蘭 計算器魯道夫·範·科伊倫 (Ludolph van Ceulen) (1539-1610)。符號 最早由威爾士數學家威廉·瓊斯 (William Jones) 於 1706 年使用，隨後被尤拉採用。在《圓的測量》中，阿基米德（公元前 225 年左右）透過在 圓 上 內接 和 外切 -邊形，使用 阿基米德演算法，獲得了第一個嚴格的近似值。使用 （96 邊形），阿基米德得到

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（Wells 1986，第 49 頁；Shanks 1993，第 140 頁；Borwein等人 2004，第 1-3 頁）。

已知 是 無理數 (Lambert 1761; Legendre 1794; Hermite 1873; Nagell 1951; Niven 1956; Struik 1969; Königsberger 1990; Schröder 1993; Stevens 1999; Borwein 和 Bailey 2003, pp. 139-140)。1794 年，Legendre 也證明了 是 無理數 (Wells 1986, p. 76)。 也是 超越數 (Lindemann 1882)。Lindemann 對 超越性的證明的直接結果也證明了被稱為 化圓為方 的 古代幾何問題 是不可能的。Klein (1955) 給出了 Lindemann 證明的簡化但仍然困難的版本。

還已知 不是 劉維爾數 (Mahler 1953)，但尚不清楚 是否對任何基數都是正規的 (Stoneham 1970)。下表總結了計算 的 無理測度 的上限的進展。指數很可能可以減少到 ，其中 是一個無窮小的數 (Borwein et al. 1989)。

尚不清楚 、 或 是否為 無理數。然而，已知它們不能滿足任何次數 的 多項式 方程，其中 係數 是平均大小為 的 整數 (Bailey 1988ab, Borwein et al. 1989)。

J. H. Conway 已經證明，存在一個少於 40 個 分數 、、... 的序列，其特性是，如果您從 開始，並重復乘以第一個 ，直到得到整數結果，直到出現 2 的 冪（例如 ），則 是 的第 位十進位制數字。

除了 圓 和 球體 之外，還在數學中各種意想不到的地方出現。例如，它出現在 正態分佈 的歸一化中，素數 的分佈中，構造非常接近 整數 的數字（拉馬努金常數），以及針掉落在 平行 線集上 相交 一條線的機率（蒲豐投針問題）。Pi 也出現在蜿蜒河流中源頭和河口之間實際長度與直線距離的平均比率中 (Stølum 1996, Singh 1997)。

《聖經》包含兩處參考文獻（列王紀上 7:23 和歷代志下 4:2），其中 的值為 3 (Wells 1986, p. 48)。但是，應該提到的是，這兩個例子都指的是從物理測量中獲得的值，因此，可能完全在實驗不確定性的範圍內。《列王紀上》7:23 記載：“他鑄一個銅海，樣式是圓的，高五肘，直徑十肘，圍三十肘。” 這意味著 。巴比倫人給出的 估計值為 ，而埃及人在萊因德紙草書中給出的 ，在其他地方則為 22/7。然而，中國幾何學家做得最好，嚴格推匯出 到小數點後 6 位。

出現在阿爾弗雷德·希區柯克執導的平淡乏味且演技拙劣的 1966 年電影《衝破鐵幕》中，包括一個特別奇怪但令人難忘的場景，保羅·紐曼（飾演邁克爾·阿姆斯特朗教授）在農舍門口用腳在泥土中畫了一個 符號。在這部電影中，符號 是一個東德地下網路的通行標誌，該網路將逃亡者偷運到西方。

1998 年的電影π 是一部黑暗、怪異且節奏極快的電影，講述了一位數學家在尋找股市模式時逐漸精神錯亂的故事。一個哈西德教神秘教派和一個華爾街公司都瞭解了他的調查，並試圖引誘他。不幸的是，這部電影基本上與真實的數學無關。314159， 的前六位數字是卡爾·薩根的小說接觸中艾莉辦公室保險箱的密碼。

2005 年 9 月 15 日，谷歌發行了 14159265 股 A 類股票，這與小數點後 的前八位數字相同 (Markoff 2005)。

圓柱體 體積公式引出了一個數學笑話：“一個厚度為 ，半徑為 的披薩的體積是多少？” 答案：pi z z a。這個結果有時被稱為第二個 披薩定理。

2005 年專輯 Aerial 收錄了一首名為“Pi”的歌曲，其中 的前幾位數字與歌詞交錯（不幸的是不正確）。

關於 pi 的 公式 非常多，從簡單的到非常複雜的都有。

拉馬努金 (Ramanujan) (1913-1914) 和 Olds (1963) 給出了 355/113 的幾何構造。Gardner (1966, pp. 92-93) 給出了 的幾何構造。Dixon (1991) 給出了 和 的構造。 近似值的構造是 化圓為方 的近似值（這本身是不可能的）。