連續應用阿基米德遞推公式得到阿基米德演算法，該演算法可用於提供對 
(pi) 的逐次逼近。該演算法也稱為 Borchardt-Pfaff 演算法。阿基米德透過在圓上外切和內接 
-邊形，獲得了對 
的第一個嚴格逼近。根據阿基米德遞推公式，外切和內接多邊形的周長 
和 
分別為：
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(1)
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(2)
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其中
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(3)
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對於六邊形，
且
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(4)
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(5)
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其中 
。 阿基米德遞推公式的第一次迭代給出：
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(6)
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(7)
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(8)
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額外的迭代沒有簡單的閉合形式，但 
, 1, 2, 3, 4（分別對應 6-, 12-, 24-, 48- 和 96-邊形）的數值近似值為：
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(9)
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(10)
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(11)
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(12)
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(13)
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透過取 
（一個 96 邊形）並在每一步使用嚴格不等式將無理界限轉換為有理界限，阿基米德獲得了稍微寬鬆的結果：
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(14)
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