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布豐-拉普拉斯投針問題

BuffonLaplaceNeedle

布豐-拉普拉斯投針問題旨在找到機率 P(l,a,b)，即一根長度為 l 的針將落在至少一條線上，給定一個地板，其上有一個等距平行 線網格，線間距分別為 a 和 b，其中 l<a,b。針的位置可以用點 (x,y) 指定，其方向可以用座標 phi 指定。透過對稱性，我們可以考慮網格的單個矩形，因此 0<x<a 和 0<y<b。此外，由於相反的方向是等效的，我們可以取 -pi/2<phi<pi/2。

機率由下式給出

P(l;a,b)=1-(int_(-pi/2)^(pi/2)F(phi)dphi)/(piab),
(1)

其中

F(phi)=ab-blcosphi-la|sinphi|+1/2l^2|sin(2phi)|
(2)

(Uspensky 1937, p. 256; Solomon 1978, p. 4), 給出

P(l;a,b)=(2l(a+b)-l^2)/(piab).
(3)

這個問題最初由布豐 (1777, pp. 100-104) 解決，但他的推導包含一個錯誤。拉普拉斯 (1812, pp. 359-362; 拉普拉斯 1820, pp. 365-369) 給出了正確的解法。

BuffonLaplaceNeedleProbability

如果 a=b 使得 x=l/a=l/b 且 0<x<1, 那麼針交叉 0、1 和 2 條線的機率為

P_0=1-(x(4-x))/pi
(4)
P_1=(2x(2-x))/pi
(5)
P_2=(x^2)/pi.
(6)

定義 N_i 為在 n 次投擲中，短針恰好交叉 n 條線的次數，變數 N_1+N_2 具有引數 n 和 m/pi 的二項分佈，其中 m=x(4-x) (Perlman 和 Wichura 1975)。theta=1/pi 的點估計量由下式給出

theta^^=(N_1+N_2)/(mn),
(7)

這是一個具有方差的一致最小方差無偏估計量

var(theta^^)=theta/n(1/m-theta)
(8)

(Perlman 和 Wishura 1975)。pi^^=1/theta^^ 的估計量 pi 由下式給出

pi^^=(x(4x-x^2))/(1-(N_0)/n).
(9)

這具有漸近方差

avar(pi^^)=(pi^2(4x-x^2-pi))/(nx(x-4)),
(10)

其中，對於 x=1, 變為

avar(pi^^)=(pi^2(pi-3))/(3n)
(11)
approx (0.465821)/n
(12)

(OEIS A114602)。

BuffonLaplaceNeedleProblem

上面說明了一組針長為 a/l=b/l=0.3 的樣本試驗，其中與 0 條線相交的針以綠色顯示，與單條線相交的針以黃色顯示，與兩條線相交的針以紅色顯示。

如果平面改為用邊長為 a, b, c 的全等三角形平鋪，並且投擲一根長度 l 小於最短高度的針，則針完全包含在其中一個三角形內的機率由下式給出

P=1+((Aa^2+Bb^2+Cc^2)l^2)/(8piK^2)-((4a+4b+4c-3l)l)/(4piK),
(13)

其中 A, B, 和 C 分別是 a, b, 和 c 的對角，K 是三角形的面積。對於由等邊三角形組成的三角形網格，這簡化為

P=1+2/3(l/a)^2-(lsqrt(3))/(pia)(4-l/a)
(14)

(Markoff 1912, pp. 169-173; Uspensky 1937, p. 258)。

另請參閱

布豐投針問題, 瓷磚鋪設問題

使用 探索

參考文獻

Buffon, G. "Essai d'arithmétique morale." Histoire naturelle, générale er particulière, Supplément 4, 46-123, 1777.Laplace, P. S. Théorie analytique des probabilités. Paris: Veuve Courcier, 1812.Laplace, P. S. Théorie analytique des probabilités, 3rd rev. ed. Paris: Veuve Courcier, 1820.Markoff, A. A. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Leipzig, Germany: Teubner, 1912.Perlman, M. and Wichura, M. "Sharpening Buffon's Needle." Amer. Stat. 20, 157-163, 1975.Schuster, E. F. "Buffon's Needle Experiment." Amer. Math. Monthly 81, 26-29, 1974.Sloane, N. J. A. Sequence A114602 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Solomon, H. Geometric Probability. Philadelphia, PA: SIAM, pp. 3-6, 1978.Uspensky, J. V. "Laplace's Problem." §12.17 in Introduction to Mathematical Probability. New York: McGraw-Hill, pp. 255-257, 1937.

在 中引用

布豐-拉普拉斯投針問題

引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "布豐-拉普拉斯投針問題." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Buffon-LaplaceNeedleProblem.html

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