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蒲豐投針問題

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BuffonNeedle

蒲豐投針問題要求找出長度為 l 的針落在地板上的線的機率，已知地板上有等間距 平行 線，線間距為 d。這個問題最初由法國博物學家蒲豐在 1733 年提出（Buffon 1733, pp. 43-45），並在 1777 年由蒲豐再現並附帶解決方案（Buffon 1777, pp. 100-104）。

定義尺寸引數 x 為

x=l/d.
(1)

對於短針（即，比兩條線之間距離短的針，因此 x=l/d<1），針落在一條線上的機率 P(x) 為

P(x)=int_0^(2pi)(l|costheta|)/d(dtheta)/(2pi)
(2)
=(2l)/(pid)int_0^(pi/2)costhetadtheta
(3)
=(2l)/(pid)
(4)
=(2x)/pi.
(5)

對於 x=l/d=1，因此變為

P(x=1)=2/pi=0.636619...
(6)

（OEIS A060294）。

對於長針（即，比兩條線之間距離長的針，因此 x=l/d>1），它 相交 至少一條線的機率是稍微複雜的表示式

P(x)=2/pi(x-sqrt(x^2-1)+sec^(-1)x),
(7)

其中（Uspensky 1937, pp. 252 和 258; Kunkel）。

BuffonsNeedleProbability

寫作

P(x)={(2x)/pi for x<=1; 2/pi(x-sqrt(x^2-1)+sec^(-1)x) for x>1
(8)

然後給出上面所示的圖。以上可以透過注意到

P(x)=int_0^(phi/2)int_(lsinphi/2)f_sf_phidsdphi,
(9)

其中

f_s={2/d for 0<=x<=1/2d; 0 for x>1/2d
(10)
f_phi=2/pi
(11)

是針的中點 s 到最近線的距離 s 和針與線形成的角 phi 的機率函式，當 0<=s<=(lsinphi)/2 時發生相交，並且透過對稱性，phi 可以限制在 [0,pi/2] 範圍內。

設 N 是投擲 n 次尺寸引數為 x 的短針的線交叉次數。那麼 N 服從引數為 n 和 2x/pi 的 二項分佈。對於 theta=1/pi 的點估計量由下式給出

theta^^=N/(2xn),
(12)

它既是均勻最小方差無偏估計量，又是最大似然估計量（Perlman 和 Wishura 1975），方差為

var(theta^^)=theta/(2n)(1/x-2theta),
(13)

在 x=1 的情況下，給出

var(theta^^)=(theta^2(1-2theta))/(2thetan).
(14)

對於 pi 的估計量 pi^^=1/theta^^ 稱為蒲豐估計量，是漸近無偏估計量，由下式給出

pi^^=(2xn)/N,
(15)

其中 x=l/d，n 是投擲次數，N 是線交叉次數。它具有漸近方差

avar(pi^^)=(pi^2)/(2n)(pi/x-2),
(16)

對於 x=1 的情況，變為

avar(pi^^)=(pi^2(1/2pi-1))/n
(17)
approx (5.6335339)/n
(18)

（OEIS A114598；Mantel 1953；Solomon 1978, p. 7）。

BuffonNeedleTosses

上圖顯示了長度引數為 x=1/3 的針投擲 500 次的結果，其中交叉線的針以紅色顯示，未交叉線的針以綠色顯示。107 次投擲交叉線，得出 pi^^=3.116+/-0.073。

BuffonTosses

已經進行了幾次嘗試，透過投擲針來實驗性地確定 pi。上面說明了從五個獨立的（短）針投擲系列計算出的 pi，每次試驗投擲一百萬次 x=1/3。有關相關統計資料的討論以及對更準確（且最令人難以置信）的針投擲之一的批判性分析，請參見 Badger (1994)。Uspensky（1937，pp. 112-113）討論了進行 2520、3204 和 5000 次試驗的實驗。

該問題可以擴充套件到形狀為 凸多邊形 的“針”，其 廣義直徑 小於 d。多邊形的邊界將 相交 其中一條線的機率由下式給出

P=p/(pid),
(19)

其中 p 是多邊形的 周長 (Uspensky 1937, p. 253; Solomon 1978, p. 18)。

透過在用兩組垂直線劃線的板上投擲針而獲得的進一步推廣稱為 蒲豐-拉普拉斯投針問題。

另請參見

蒲豐-拉普拉斯投針問題， 清潔瓷磚問題

使用 探索

參考文獻

Badger, L. "Lazzarini's Lucky Approximation of pi." Math. Mag. 67, 83-91, 1994.Bogomolny, A. "Buffon's Noodle." http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/Buffon.shtml.Borwein, J. 和 Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 139, 2003.Buffon, G. 編輯關於 1733 年勒克萊爾·德·蒲豐先生在巴黎皇家科學院發表的演講的註釋。 Histoire de l'Acad. Roy. des Sci., pp. 43-45, 1733.Buffon, G. "道德算術隨筆。" Histoire naturelle, générale er particulière, Supplément 4, 46-123, 1777.Diaconis, P. "長針蒲豐投針問題。" J. Appl. Prob. 13, 614-618, 1976.Dörrie, H. "蒲豐投針問題。" §18 in 初等數學的 100 個偉大問題：它們的歷史和解決方案。 New York: Dover, pp. 73-77, 1965.Edelman, A. 和 Kostlan, E. "隨機多項式有多少個實零點？" Bull. Amer. Math. Soc. 32, 1-37, 1995.Hoffman, P. 愛數字的人：保羅·埃爾德什的故事和對數學真理的探索。 New York: Hyperion, p. 209, 1998.Isaac, R. 機率的樂趣。 New York: Springer-Verlag, 1995.Kendall, M. G. 和 Moran, P. A. P. 幾何機率。 New York: Hafner, 1963.Klain, Daniel A. 和 Rota, G.-C. 幾何機率導論。 New York: Cambridge University Press, 1997.Kraitchik, M. "投針問題。" §6.14 in 數學娛樂。 New York: W. W. Norton, p. 132, 1942.Kunkel, P. "蒲豐投針。" http://whistleralley.com/buffon/buffon.htm.Mantel, L. "蒲豐投針問題的擴充套件。" Ann. Math. Stat. 24, 674-677, 1953.Morton, R. A. "平面中隨機曲線之間交叉點的預期數量和角度。" J. Appl. Prob. 3, 559-562, 1966.Perlman, M. 和 Wichura, M. "銳化蒲豐投針。" Amer. Stat. 20, 157-163, 1975.Santaló, L. A. 積分幾何和幾何機率。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1976.Schuster, E. F. "蒲豐投針實驗。" Amer. Math. Monthly 81, 26-29, 1974.Sloane, N. J. A. 序列 A060294 和 A114598 在 "整數序列線上百科全書" 中。Solomon, H. "蒲豐投針問題、擴充套件和 pi 的估計。" Ch. 1 in 幾何機率。 Philadelphia, PA: SIAM, pp. 1-24, 1978.Stoka, M. "凸測試體的蒲豐型別問題。" Conf. Semin. Mat. Univ. Bari, No. 268, 1-17, 1998.Uspensky, J. V. "蒲豐投針問題"、"蒲豐問題的擴充套件" 和 "蒲豐問題的第二種解決方案。" §12.14-12.16 in 數學機率導論。 New York: McGraw-Hill, pp. 112-115, 251-255, 和 258, 1937.Wegert, E. 和 Trefethen, L. N. "從蒲豐投針問題到克雷斯矩陣定理。" Amer. Math. Monthly 101, 132-139, 1994.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 53, 1986.Wood, G. R. 和 Robertson, J. M. "蒲豐弄對了。" Stat. Prob. Lett. 37, 415-421, 1998.

在 上引用

蒲豐投針問題

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "蒲豐投針問題。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BuffonsNeedleProblem.html

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