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圓周率數字

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pi 的十進位制展開式為

pi=3.141592653589793238462643383279502884197...
(1)

(OEIS A000796)。下表總結了一些 pi 數字的記錄計算。

2061584300001999Kanada、Ushio 和 Kuroda
1.2411×10^(12)2002 年 12 月Kanada、Ushio 和 Kuroda (Peterson 2002, Kanada 2003)
5×10^(12)2012 年 8 月A. J. Yee (Yee)
10×10^(12)2012 年 8 月S. Kondo 和 A. J. Yee (Yee)
12.1×10^(12)2013 年 12 月A. J. Yee 和 S. Kondo (Yee)

自萊因德紙草書 (公元前 1500 年) 時代以來，數學家就一直致力於計算 數字 pi。Ludolph van Ceulen 一生都在計算 pi 到 35 位。儘管他生前未能發表他的結果，但它被刻在了他的墓碑上。Wells (1986, p. 48) 討論了許多其他計算。pi 的計算也出現在星際迷航第二季劇集 "群狼" (1967) 中，在該集中，柯克艦長和斯波克先生命令計算機“計算圓周率的最後一位數字”，從而迫使計算機陷入無限迴圈，將一個邪惡實體（由純能量組成，以恐懼為食）趕出了星艦進取號的計算機。

Al-Kāshi of Samarkand 計算了 2pi 的 六十進位制 數字為

2pi=6.(16)(59)(28)(01)(34)(51)(46)(14)(50)_(60)...
(2)

(OEIS A091649)，使用 3·2^(28)-邊形，該值精確到小數點後 17 位 (Borwein and Bailey 2003, p. 107)。

Pi digits

上面說明了 pi 的十進位制數字的二進位制表示（上圖）和 pi 的十進位制表示（下圖）。

Pi digits mod 2

上面（左圖）顯示了 pi 的前 1600 位十進位制數字的圖（mod 2），右圖顯示了 22/7 的相應圖。這裡，白色表示偶數數字，黑色表示奇數數字 (Pickover 2002, p. 285)。

Spigot (Rabinowitz and Wagon 1995; Arndt and Haenel 2001; Borwein and Bailey 2003, pp. 140-141) 和基數 16 數字提取演算法 (BBP 公式) 是已知的 pi 演算法。一個值得注意的遞迴公式被猜想可以給出 n 位 十六進位制 數字 pi-3，由 d_n=|_16x_n_| 給出，其中 |_x_| 是向下取整函式，

x_n=frac(16x_(n-1)+(120n^2-89n+16)/(512n^4-1024n^3+712n^2-206n-21)),
(3)

frac(x) 是 小數部分，x_0=0 (Borwein and Bailey 2003, Ch. 4; Bailey et al. 2007, pp. 22-23)。

極限 圓周率公式

lim_(n->infty)((2(-1)^(n+1)(2n)!)/(2^(2n)B_(2n)))^(1/(2n))=pi,
(4)

和

lim_(n->infty)((2(-1)^(n+1)(2n)!)/(2^(2n)B_(2n)(1-2^(-n))(1-3^(-n))(1-5^(-n))(1-7^(-n))))^(1/(2n))=pi,
(5)

其中 B_n 是 伯努利數 (Plouffe 2022)，可以用作 pi (以及 pi^n) 的 數字提取演算法。特別是，令

pi_n=((2(-1)^(n+1)(2n)!)/(2^(2n)B_(2n)(1-2^(-n))(1-3^(-n))(1-5^(-n))(1-7^(-n))))^(1/(2n)),
(6)

對於 n>=3，n 位數字在小數點右側 pi 由下式給出

d_n=int(10frac(10^(n-1)pi_(n-1)))
(7)

其中 int(x) 是 整數部分，frac(x) 是 小數部分。可以使用以下公式獲得類似的公式

lim_(n->infty)((2^(2n+2)(-1)^n(2n)!)/(E_(2n)))^(1/(2n+1))=pi
(8)

和

lim_(n->infty)((2^(2n+2)(-1)^n(2n)!)/(E_(2n))(1-1/(3^(2n+1))))^(1/(2n+1))=pi,
(9)

其中 E_n 是 尤拉數，這給出了一個基數 9（或二進位制）數字提取演算法 (Plouffe 2022)。也可以為 pi^2 獲得相關的極限和公式 (Plouffe 2022)。

圓周率素數，即 pi-常數素數 出現在 2, 6, 38, 16208, 47577, 78073, 613373, ... (OEIS A060421) 十進位制數字處。

獸數 666 出現在 pi-3 的小數位 2440, 3151, 4000, 4435, 5403, 6840, (OEIS A083625)。連續 n 個 6 的首次出現位置是 7, 117, 2440, 21880, 48439, 252499, 8209165, 55616210, 45681781, ... (OEIS A096760)，而 n 個（或更多）連續 6 的首次出現位置是 7, 117, 2440, 21880, 48439, 252499, 8209165, 45681781, 45681781, ... (OEIS A050285)。

數字 314159 出現在位置 176451, 1259351, 1761051, 6467324, 6518294, 9753731, 9973760, ... （更正了 Pickover 1995）。

序列 0123456789 出現在數字 17387594880, 26852899245, 30243957439, 34549153953, 41952536161, 和 43289964000 (OEIS A101815; cf. Wells 1986, pp. 51-52) 開頭。

序列 9876543210 出現在數字 21981157633, 29832636867, 39232573648, 42140457481, 和 43065796214 (OEIS A101816) 開頭。

序列 27182818284 ( e 的前幾位數字) 出現在數字 45111908393 開頭 (另請參見 Pickover 序列)。

對於 1/pi 也存在有趣的模式。0123456789 出現在 6214876462，9876543210 出現在 15603388145 和 51507034812，而 999999999999 出現在 12479021132 的 1/pi。

十進位制展開式中 pi 的 n=0, 1, 2, ... 的首次出現起始位置（包括初始 3 並將其計為第一個數字）是 33, 2, 7, 1, 3, 5, 8, 14, ... (OEIS A032445)。

掃描 pi 的十進位制展開式，直到所有 n 位數字都出現過，最後出現的 1 位、2 位、... 位數字是 0, 68, 483, 6716, 33394, 569540, ... (OEIS A032510)，它們在數字 33, 607, 8556, 99850, 1369565, ... (OEIS A080597) 處結束。

一個將 pi 與 獸數 666 聯絡起來的奇特之處在於將 pi 的前三個六位數相加。首先，請注意

141592+653589+793238=1588419.
(10)

現在，跳過 15 個十進位制位，並注意總和重複為

3.141592 653589 793238 462643383279502^(︷)^(15) 88419 71693
(11)

（個人通訊，P. Olivera，2005 年 8 月 11 日；Olivera）。

不知道 pi 是否是 正規數 (Wagon 1985, Bailey and Crandall 2001)，儘管前 3000 萬個 數字 非常 均勻分佈 (Bailey 1988)。

對於前 10^n 個 數字 pi-3 (Kanada 2003)，發現了以下十進位制數字 d 的分佈。它沒有顯示出與 均勻分佈 的統計 顯著 偏差。

nOEIS23456789101112
0A0992918939689999999599994409999922999939429999679951000010475099999485134
1A09929281161026101379975899933310002475999973341000037790999993763199999945664
2A0992931210310219908100026100030610001092100002410100001727110000026432100000480057
3A0992941110297410025100229999964999844299986911999976483999991239699999787805
4A09929510931012997110023010010931000386310001195899993768810000032702100000357857
5A09929689710461002610035910004669993478999988851000007928999996366199999671008
6A099297994102110029995489993379999417100010387999985731999982408899999807503
7A0992988959701002599800100020799996109999606110000413301000008453099999818723
8A099299121019489978999859998141000218010000183999999177210000157175100000791469
9A0993001410610149902100106100004099995211000002731000036012999995663599999854780

下表給出了數字 d 出現 n 次的首次幾個位置。由對角線（加上任何 10 個 10 等形式的項）給出的序列 1, 135, 1698, 54525, 24466, 252499, 3346228, 46663520, 564665206, ... (OEIS A061073) 被稱為 Earls 序列 (Pickover 2002, p. 339)。序列 999999 出現在十進位制位 762 (有時稱為 費曼點；Wells 1986, p. 51)，並繼續為 9999998，這是前一百萬個十進位制位中任何七位數字的最大值。

dOEIS1 位、2 位、...d 字串首次出現在
0A05027932, 307, 601, 13390, 17534, 1699927, ...
1A0351171, 94, 153, 12700, 32788, 255945, ...
2A0502816, 135, 1735, 4902, 65260, 963024, ...
3A0502829, 24, 1698, 28467, 28467, 710100, ...
4A0502832, 59, 2707, 54525, 808650, 828499, ...
5A0502844, 130, 177, 24466, 24466, 244453, ...
6A0502857, 117, 2440, 21880, 48439, 252499, ...
7A05028613, 559, 1589, 1589, 162248, 399579, ...
8A05028711, 34, 4751, 4751, 213245, 222299, ...
9A0489405, 44, 762, 762, 762, 762, 1722776, ...

Knuth (2024, p. 18) 指出了 優美的圓周率路徑 中 pi 的前 30 位數字的“奇蹟般”出現，即 美國本土圖 的特定 優美標記。

另請參見

常數數字掃描, 常數素數, Earls 序列, 圓周率, 圓周率近似值, 圓周率連分數, 圓周率公式, Pickover 序列

使用 探索

參考文獻

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請引用為

Weisstein, Eric W. "圓周率數字。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/PiDigits.html

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