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均勻分佈

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均勻分佈，有時也稱為矩形分佈，是一種具有恆定機率的分佈。

UniformDistribution

在區間 [a,b] 上的連續均勻分佈的機率密度函式和累積分佈函式是

P(x)={0 for x<a; 1/(b-a) for a<=x<=b; 0 for x>b
(1)
D(x)={0 for x<a; (x-a)/(b-a) for a<=x<=b; 1 for x>b.
(2)

這些可以用 Heaviside 階躍函式 H(x) 表示為

P(x)=(H(x-a)-H(x-b))/(b-a)
(3)
D(x)=((x-a)H(x-a)-(x-b)H(x-b))/(b-a),
(4)

後者簡化為對於 a<x<b 的預期 D(x)=(x-a)/(b-a)。

連續分佈實現為UniformDistribution[a, b]。

對於連續均勻分佈，特徵函式是

phi(t)=2/((b-a)t)sin[1/2(b-a)t]e^(i(a+b)t/2).
(5)

如果 a=0 且 b=1，則 特徵函式簡化為

phi(t)=(2sin(1/2t)e^(it/2))/t
(6)
=(i-icost+sint)/t.
(7)

矩生成函式是

M(t)=<e^(xt)>
(8)
=int_a^b(e^(xt))/(b-a)dx=[(e^(xt))/(t(b-a))]_a^b
(9)
={(e^(tb)-e^(ta))/(t(b-a)) for t!=0; 1 for t=0,
(10)

和

M^'(t)=1/(b-a)[1/t(be^(bt)-ae^(at))-1/(t^2)(e^(bt)-e^(at))]
(11)
=(e^(bt)(bt-1)-e^(at)(at-1))/((b-a)t^2).
(12)

矩生成函式在零點不可微，但可以透過微分然後取極限 lim_(t->0) 來計算矩。 原始矩由下式解析給出

mu_n^'=int_(-infty)^infty(H(x-a)-H(x-b))/(b-a)x^ndx
(13)
=int_a^b(x^n)/(b-a)dx
(14)
=(b^(n+1)-a^(n+1))/((n+1)(b-a)).
(15)

因此，前幾個矩由下式明確給出

mu_1^'=1/2(a+b)
(16)
mu_2^'=1/3(a^2+ab+b^2)
(17)
mu_3^'=1/4(a+b)(a^2+b^2)
(18)
mu_4^'=1/5(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4).
(19)

中心矩由下式解析給出

mu_n^'=int_(-infty)^infty(H(x-a)-H(x-b))/(b-a)[x-1/2(a+b)]^ndx
(20)
=int_a^b([x-1/2(a+b)]^n)/(b-a)dx
(21)
=((a-b)^n+(b-a)^n)/(2^(n+1)(n+1)).
(22)

因此，前幾個矩由下式明確給出

mu_1=0
(23)
mu_2=1/(12)(b-a)^2
(24)
mu_3=0
(25)
mu_4=1/(80)(b-a)^4.
(26)

因此，均值、方差、偏度和超額峰度為

mu=1/2(a+b)
(27)
sigma^2=1/(12)(b-a)^2
(28)
gamma_1=0
(29)
gamma_2=-6/5.
(30)

另請參閱

連續分佈， 離散均勻分佈， 等分佈序列， 隨機數， 矩形函式， 三角分佈， 均勻差分佈， 均勻積分佈， 均勻比分佈， 均勻和分佈 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 531 和 533, 1987.

在 中引用

均勻分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. "均勻分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/UniformDistribution.html

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