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離散均勻分佈

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離散均勻分佈也稱為“等可能結果”分佈。設集合 S 擁有 N 個元素，每個元素具有相同的機率，則

P(S)=P( union _(i=1)^NE_i)
(1)
=sum_(i=1)^(N)P(E_i)
(2)
=P(E_i)sum_(i=1)^(N)1
(3)
=NP(E_i),
(4)

因此使用 P(S)=1 得到

P(E_i)=1/N.
(5)

將集合 S 限制為正整數集合 1, 2, ..., N，則此離散均勻分佈的機率分佈函式和累積分佈函式為

P(n)=1/N
(6)
D(n)=n/N
(7)

對於 n=1, ..., N。

離散均勻分佈在 Wolfram 語言中實現為DiscreteUniformDistribution[n]。

它的矩量生成函式是

M(t)=<e^(nt)>
(8)
=sum_(n=1)^(N)1/Ne^(nt)
(9)
=1/N(e^t-e^(t(N+1)))/(1-e^t)
(10)
=(e^t(1-e^(Nt)))/(N(1-e^t)).
(11)

關於 0 的矩是

mu_m^'=1/Nsum_(n=1)^Nn^m,
(12)

因此

mu_1^'=1/2(N+1)
(13)
mu_2^'=1/6(N+1)(2N+1)
(14)
mu_3^'=1/4N(N+1)^2
(15)
mu_4^'=1/(30)(N+1)(2N+1)(3N^2+3N-1),
(16)

而關於均值的矩是

mu_2=1/(12)(N-1)(N+1)
(17)
mu_3=0
(18)
mu_4=1/(240)(N-1)(N+1)(3N^2-7).
(19)

均值、方差、偏度和峰度超額為

mu=1/2(N+1)
(20)
sigma^2=1/(12)(N-1)(N+1)
(21)
gamma_1=0
(22)
gamma_2=-(6(N^2+1))/(5(N-1)(N+1)).
(23)
UniformDistributionMeanDeviation

對於 N 個元素的均勻分佈，平均偏差由下式給出

MD=1/Nsum_(k=1)|k-1/2(N+1)|.
(24)

為了進行求和，分別考慮 N 為奇數的情況，

MD=1/Nsum_(k=1)^(N)|k-m|
(25)
=1/N[sum_(k=1)^(m-1)m-k+sum_(k=m+1)^(N)k-m]
(26)
=(2m^2-2m(N+1)+N^2+N)/(2N)
(27)
=(N^2-1)/(4N).
(28)

類似地，對於 N=2m 為偶數的情況，

MD=1/Nsum_(k=1)^(N)|k-(m+1/2)|
(29)
=1/N[sum_(k=1)^(m)(m+1/2)-k+sum_(k=m+1)^(N)k-(m+1/2)]
(30)
=N/2+(m^2)/N-m
(31)
=1/4N.
(32)

完整的解因此是

MD={(N^2-1)/(4N) for N odd; 1/4N for N even.
(33)

對於 N=1, 2, ..., 前幾個值是 0, 1/2, 2/3, 1, 6/5, 3/2, 12/7, ... (OEIS A086111 和 A086112)。

另請參閱

離散分佈, 均勻分佈

使用 探索

參考文獻

Sloane, N. J. A. 序列 A086111 和 A086112，收錄於“整數序列線上百科全書”。

在 中引用

離散均勻分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. “離散均勻分佈”。來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/DiscreteUniformDistribution.html

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