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峰度超額

“峰度超額”（Kenney 和 Keeping 1951, p. 27）根據常用的峰度定義為：

gamma_2=beta_2-3
(1)
=(mu_4)/(mu_2^2)-3.
(2)

它通常表示為 gamma_2 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 928) 或 b_2。峰度超額通常被使用，因為正態分佈的 gamma_2 等於 0，而峰度本身等於 3。不幸的是，Abramowitz 和 Stegun (1972) 令人困惑地將 beta_2 稱為“超額或峰度”。

對於實踐中遇到的許多分佈，正gamma_2 對應於比正態分佈更尖銳的峰和更高的尾部（Kenney 和 Keeping 1951, p. 54）。這種觀察可能是峰度超額在歷史上（但錯誤地）被認為是分佈“峰態”度量的原因。然而，峰度與峰態之間的對應關係並非普遍成立；事實上，具有完全平坦頂部的分佈可能具有無限峰度超額，而具有無限峰態的分佈可能具有負峰度超額。因此，峰度超額提供了一種衡量分佈中離群值（即“重尾”）的方法，而不是其峰態程度（Kaplansky 1945；Kenney 和 Keeping 1951, p. 27；Westfall 2014）。

下表給出了有時應用於不同 gamma_2 區間的術語。

區間術語
gamma_2<0低峰態
gamma_2=0中峰態
gamma_2>0高峰態

估計量 g_2=<gamma_2> 用於峰度超額 gamma_2，由下式給出：

g_2=(k_4)/(k_2^2),
(3)

其中 ks 是 k 統計量（Kenney 和 Keeping 1961, p. 103）。對於正態分佈，此估計量的方差為：

var(g^^_2) approx (24)/N.
(4)

下表列出了許多常見分佈的峰度超額。

分佈峰度超額 gamma_2
伯努利分佈1/(1-p)+1/p-6
貝塔分佈(6[a^3+a^2(1-2b)+b^2(1+b)-2ab(2+b)])/(ab(2+a+b)(3+a+b))
二項分佈(6p^2-6p+1)/(np(1-p))
卡方分佈(12)/r
指數分佈6
極值分佈(12)/5
伽瑪分佈6/a
幾何分佈5-p+1/(1-p)
半正態分佈(8(pi-3))/((pi-2)^2)
拉普拉斯分佈3
對數正態分佈e^(4S^2)+2e^(3S^2)+3e^(2S^2)-6
麥克斯韋分佈-(4(96-40pi+3pi^2))/((3pi-8)^2)
負二項分佈(6-p(6-p))/(r(1-p))
正態分佈0
泊松分佈1/nu
瑞利分佈(6pi(4-pi)-16)/((pi-4)^2)
學生 t 分佈6/(n-4)
連續均勻分佈-6/5
離散均勻分佈-(6(n^2+1))/(5(n^2-1))

參見

中心矩, 超額, k 統計量, 峰度, 均值, 偏度, 標準差

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約: Dover, p. 928, 1972.Darlington, R. B. "峰度真的是峰態嗎？" 美國統計學家 24, 19-22, 1970.Dodge, Y. 和 Rousson, V. "第四中心矩的複雜性。" 美國統計學家 53, 267-269, 1999.Kaplansky, I. "關於峰度的常見錯誤。" 美國統計協會雜誌 40, 259, 1945.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "峰度。" §7.12 在 統計數學，第一部分，第 3 版。 普林斯頓，新澤西州: Van Nostrand, pp. 102-103, 1962.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. 統計數學，第二部分，第 2 版。 普林斯頓，新澤西州: Van Nostrand, 1951.Moors, J. J. A. "峰度的意義：重新審視 Darlington。" 美國統計學家 40, 283-284, 1986.Ruppert, D. "什麼是峰度？影響函式方法。" 美國統計學家 41, 1-5, 1987.Westfall, P. H. "峰度作為峰態，1905-2014。安息吧。" 美國統計學家 68, 191-195, 2014.

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "峰度超額。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/KurtosisExcess.html

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