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幾何分佈

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GeometricDistribution

幾何分佈是 離散分佈，用於 n=0, 1, 2, ... 具有 機率密度函式

P(n)=p(1-p)^n
(1)
=pq^n,
(2)

其中 0<p<1, q=1-p, 和 分佈函式 是

D(n)=sum_(k=0)^(n)P(k)
(3)
=1-q^(n+1).
(4)

幾何分佈是唯一的 離散 無記憶 隨機分佈。它是 指數分佈 的離散模擬。

請注意，一些作者（例如，Beyer 1987, p. 531; Zwillinger 2003, pp. 630-631）更傾向於將分佈定義為 n=1, 2, ...，而上面給出的分佈形式在 Wolfram 語言 中實現為GeometricDistribution[p]。

P(n) 是歸一化的，因為

sum_(n=0)^inftyP(n)=sum_(n=0)^inftyq^np=psum_(n=0)^inftyq^n=p/(1-q)=p/p=1.
(5)

原始矩 以 多對數函式 解析地給出，

mu_k^'=sum_(n=0)^(infty)P(n)n^k
(6)
=sum_(n=0)^(infty)p(1-p)^nn^k
(7)
=pLi_(-k)(1-p).
(8)

這明確地給出了前幾個為

mu_1^'=(1-p)/p
(9)
mu_2^'=((2-p)(1-p))/(p^2)
(10)
mu_3^'=((1-p)[6+(p-6)p])/(p^3)
(11)
mu_4^'=((2-p)(1-p)[12+(p-12)p])/(p^4).
(12)

中心矩 以 Lerch 超函式 解析地給出，

mu_k=sum_(n=0)^(infty)P(n)(n-(1-p)/p)^k
(13)
=pPhi(1-p,-k,(p-1)/p).
(14)

這明確地給出了前幾個為

mu_2=(1-p)/(p^2)
(15)
=q/(p^2)
(16)
mu_3=((p-1)(p-2))/(p^3)
(17)
=(q(2-p))/(p^3)
(18)
mu_4=((p-1)(-p^2+9p-9))/(p^4),
(19)

因此，均值、方差、偏度 和 峰度超額 由下式給出

mu=(1-p)/p
(20)
sigma^2=(1-p)/(p^2)
(21)
gamma_1=(2-p)/(sqrt(1-p))
(22)
gamma_2=(p^2-6p+6)/(1-p).
(23)

對於 p=1/2 的情況（對應於 拋硬幣 次數分佈，該次數是在 聖彼得堡悖論 中獲勝所需的次數），公式 (23) 給出

mu_k^'|_(p=1/2)=1/2Li_(-k)(1/2).
(24)

因此，前幾個原始矩是 1, 3, 13, 75, 541, .... 這些數字的兩倍是 OEIS A000629，它們具有 指數生成函式 f(x)=-ln(2-e^x) 和 g(x)=e^x/(2-e^x)。案例 p=q=1/2 的 均值、方差、偏度 和 峰度超額 由下式給出

mu=1
(25)
sigma^2=2
(26)
gamma_1=3/2sqrt(2)
(27)
gamma_2=(13)/2.
(28)

特徵函式 由下式給出

phi(t)=p/(1-(1-p)e^(it)).
(29)

幾何分佈的第一個 累積量 是

kappa_1=(1-p)/p,
(30)

隨後的 累積量 由 遞推關係 給出

kappa_(r+1)=(p-1)(dkappa_r)/(dp).
(31)

幾何分佈的 平均偏差 是

MD=2(1-p)^(|_1/p_|)|_1/p_|,
(32)

其中 |_x_| 是 向下取整函式。

另請參閱

幾何級數, 超幾何分佈, 聖彼得堡悖論

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學手冊，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 531-532, 1987.Sloane, N. J. A. 序列 A000629，出自“整數數列線上百科全書”。Spiegel, M. R. 機率與統計的理論與問題。 New York: McGraw-Hill, p. 118, 1992.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 標準數學手冊和公式集，第 31 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 630-631, 2003.

在 中被引用

幾何分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. “幾何分佈。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GeometricDistribution.html

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