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平均偏差

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平均偏差（也稱為平均絕對偏差）是一組資料相對於資料均值的絕對偏差的均值。對於樣本量 N，平均偏差定義為

MD=1/Nsum_(i=1)^N|x_i-x^_|,
(1)

其中 x^_ 是分佈的均值。數字列表的平均偏差在 Wolfram 語言中實現為MeanDeviation[data].

離散分佈 P_i（定義為 i=1, 2, ..., N）的平均偏差由下式給出

MD=sum_(i=1)^NP_i|x_i-x^_|.
(2)

平均偏差是一個重要的描述性統計量，但在數理統計中並不常見。這主要是因為雖然平均偏差有一個自然的直觀定義，即“與均值的平均偏差”，但絕對值的引入使得使用該統計量進行分析計算比標準偏差複雜得多

sigma=sqrt(1/Nsum_(i=1)^N(x_i-x^_)^2).
(3)

因此，最小二乘擬合和其他標準統計技術依賴於最小化平方殘差之和，而不是絕對殘差之和。

例如，考慮由 n 個可能結果組成的離散均勻分佈，其中對於 i=1, 2, ..., N，P_i=1/N。 均值由下式給出

x^_=sum_(i=1)^NiP_i=1/Nsum_(i=1)^Ni=1/2(N+1).
(4)

方差（以及它的平方根，即標準偏差）也很容易獲得，如下所示

sigma^2=sum_(i=1)^N(i-x^_)^2P_i=1/(12)(N-1)(N+1).
(5)

另一方面，平均偏差由下式給出

MD=sum_(i=1)^N|i-x^_|P_i=1/Nsum_(i=1)^N|i-x^_|.
(6)

這可以以閉合形式獲得，但非常笨拙，因為它需要將被加數分成兩部分，並分別處理 n 為偶數和奇數的情況。

下表總結了一些命名的連續分佈的平均絕對偏差，其中 B(z;a,b) 是不完全貝塔函式，B(a,b) 是貝塔函式，Gamma(z) 是伽瑪函式，gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，G_(2,1)^(0,2)(a,b|m) 是梅耶 G 函式，Ei(z) 是指數積分函式，erf(z) 是 erf，erfc(z) 是 erfc。

分佈平均偏差
貝塔分佈(2alphaB(alpha/(alpha+beta);alpha,beta)-2(alpha+beta)B(alpha/(alpha+beta);alpha+1,beta))/((alpha+beta)B(alpha,beta))
卡方分佈((2e)^(-nu/2)nu^(nu/2+1)(nu+2))/(Gamma(2+1/2nu))
指數分佈2/(elambda)
伽瑪分佈(2e^(-alpha)alpha^alphabeta)/(Gamma(alpha))
耿貝爾分佈beta[G_(2,1)^(2,0)(e,gamma^(-1)|1,1; 0)-Ei(sinhgamma-coshgamma)]
半正態分佈2/theta[e^(-1/pi)+erf(1/(sqrt(pi)))]
拉普拉斯分佈beta
邏輯斯諦分佈2betaln2
對數正態分佈2e^(mu+sigma^2/2)erf(sigma/(2sqrt(2)))
麥克斯韋分佈4e^(-4/pi)sqrt(2/pi)sigma[1+e^(4/pi)erf(2/(sqrt(pi)))]
正態分佈sqrt(2/pi)sigma
帕累託分佈alpha/(sqrt(2pi))
瑞利分佈sqrt(2pi)erfc((sqrt(pi))/2)
學生 t 分佈(sqrt(nu))/((nu-1)B(1/2nu,1/2))
學生 t 分佈(2sqrt(nu)sigma-nu^(nu/2)sigma^nusqrt(mu^2+nusigma^2))/((nu-1)B(1/2nu,1/2))
三角分佈1/6(b-a)
三角分佈{(2(b+c-2a)^3)/(81(a-b)(a-c)) for a+b<2c; (2(a+c-2b)^3)/(81(a-b)(b-c)) for a+b>2c
均勻分佈1/4(b-a)

下表總結了一些命名的離散分佈的平均絕對偏差，其中 mu=zeta(rho)/zeta(rho+1)。

分佈平均偏差
伯努利分佈2p(1-p)
二項分佈2(1-p)^(N-|_Np_|)p^(|_Np_|+1)(|_Np_|+1)(N; |_Np_|+1)
離散均勻分佈{1/4N for N even; ((N-1)(N+1))/(4N) for N odd
幾何分佈2(1-p)^(|_1/p_|)|_1/p_|
泊松分佈(2e^(-nu)nu^(|_nu_|+1))/(|_nu_|!)
齊普夫分佈(2[zeta(rho+1)zeta(rho,|_mu_|+1)-zeta(rho)zeta(rho+1,|_mu_|+1)])/(zeta^2(rho+1))

另請參閱

絕對偏差, 標準偏差, 方差

使用 探索

參考文獻

Havil, J. "均值的方法。" §13.1 in Gamma: 探索尤拉常數。 普林斯頓，新澤西州：普林斯頓大學出版社，第 119-121 頁，2003 年。Kenney, J. F. and Keeping, E. S. "平均絕對偏差。" §6.4 in 數理統計，第 1 部分，第 3 版。 普林斯頓，新澤西州：範·諾strand，第 76-77 頁，1962 年。

在 中被引用

平均偏差

請這樣引用

韋斯坦因，埃裡克·W. "平均偏差。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MeanDeviation.html

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