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拉普拉斯分佈

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LaplaceDistribution

拉普拉斯分佈，也稱為雙指數分佈，是兩個具有相同 指數分佈 的獨立變數之間差異的分佈 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 930)。它具有機率密度函式和累積分佈函式，由下式給出

P(x)=1/(2b)e^(-|x-mu|/b)
(1)
D(x)=1/2[1+sgn(x-mu)(1-e^(-|x-mu|/b))].
(2)

它在 Wolfram 語言 中實現為LaplaceDistribution[mu, beta].

關於 均值 mu_n 的 矩 與關於 0 的 矩 的關係為

mu_n=sum_(j=0)^n(n; j)(-1)^(n-j)mu_j^'mu^(n-j),
(3)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數，因此

mu_n=sum_(j=0)^(n)sum_(k=0)^(|_j/2_|)(-1)^(n-j)(n; j)(j; 2k)b^(2k)mu^(n-2k)Gamma(2k+1)
(4)
={n!b^n for n even; 0 for n odd,
(5)

其中 |_x_| 是 向下取整函式，Gamma(2k+1) 是 伽瑪函式。

矩 也可以使用 特徵函式 計算，

phi(t)=int_(-infty)^inftye^(itx)P(x)dx=1/(2b)int_(-infty)^inftye^(itx)e^(-|x-mu|/b)dx.
(6)

使用 指數函式的傅立葉變換

F_x[e^(-2pik_0|x|)](k)=1/pi(k_0)/(k^2+k_0^2)
(7)

得到

phi(t)=(e^(imut))/(1+b^2t^2)
(8)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 930)。因此，矩 為

mu_n=(-i)^nphi(0)=(-i)^n[(d^nphi)/(dt^n)]_(t=0).
(9)

均值、方差、偏度 和 超額峰度 為

mu=mu
(10)
sigma^2=2b^2
(11)
gamma_1=0
(12)
gamma_2=3.
(13)

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編輯). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 104, 1984.

在 上引用

拉普拉斯分佈

引用為

Weisstein, Eric W. "拉普拉斯分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LaplaceDistribution.html

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