主題
Search

伯努利分佈

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook
BernoulliDistribution

伯努利分佈是一種離散分佈，具有兩種可能的 outcomes，分別標記為 n=0 和 n=1，其中 n=1 （“成功”）發生的機率為 p，n=0 （“失敗”）發生的機率為 q=1-p，其中 0<p<1。 因此，它具有機率密度函式

P(n)={1-p for n=0; p for n=1,
(1)

也可以寫成

P(n)=p^n(1-p)^(1-n).
(2)

相應的分佈函式是

D(n)={1-p for n=0; 1 for n=1.
(3)

伯努利分佈在 Wolfram 語言中實現為BernoulliDistribution[p].

在每次試驗中成功機率固定的情況下，進行固定次數試驗的表現被稱為伯努利試驗。

拋硬幣中正面和反面的分佈是伯努利分佈的一個例子，其中 p=q=1/2。伯努利分佈是最簡單的離散分佈，也是其他更復雜的離散分佈的構建塊。基於獨立伯努利試驗序列定義的多種變數型別的分佈總結在下表中（Evans 等人，2000 年，第 32 頁）。

分佈定義
二項分佈n 次試驗中成功的次數
幾何分佈首次成功之前的失敗次數
負二項分佈第 x 次成功之前的失敗次數

特徵函式是

phi(t)=1+p(e^(it)-1),
(4)

矩生成函式是

M(t)=<e^(tn)>
(5)
=sum_(n=0)^(1)e^(tn)p^n(1-p)^(1-n)
(6)
=e^0(1-p)+e^tp,
(7)

因此

M(t)=(1-p)+pe^t
(8)
M^'(t)=pe^t
(9)
M^('')(t)=pe^t
(10)
M^((n))(t)=pe^t.
(11)

這些給出原始矩

mu_1^'=p
(12)
mu_2^'=p
(13)
mu_n^'=p.
(14)

中心矩

mu_2=p(1-p)
(15)
mu_3=p(1-p)(1-2p)
(16)
mu_4=p(1-p)(3p^2-3p+1).
(17)

均值、方差、偏度和超額峰度分別為

mu=p
(18)
sigma^2=p(1-p)
(19)
gamma_1=(1-2p)/(sqrt(p(1-p)))
(20)
gamma_2=(6p^2-6p+1)/(p(1-p)).
(21)

為了找到伯努利總體均值 p 的均值估計量 p^^，設 N 為樣本大小，並假設從 N 次試驗中獲得 n 次成功。假設估計量由下式給出

p^^=n/N,
(22)

因此，在 N 次試驗中獲得觀察到的 n 次成功的機率為

(N; n)p^n(1-p)^(N-n).
(23)

因此，估計量 p^^ 的期望值由下式給出

<p^^>=sum_(n=0)^(N)p(N; n)p^n(1-p)^(N-n)
(24)
=(1-p)^N(1/(1-p))^Np
(25)
=p,
(26)

因此，p^^ 確實是總體均值 p 的無偏估計量。

平均偏差由下式給出

MD=2p(1-p).
(27)

另請參閱

伯努利試驗, 二項分佈, 拋硬幣, 幾何分佈, 負二項分佈, 遊程

使用 探索

參考文獻

Evans, M.; Hastings, N.; 和 Peacock, B. "伯努利分佈。" 第 4 章，載於《統計分佈》，第 3 版。紐約：Wiley，第 31-33 頁，2000 年。

在 中被引用

伯努利分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. "伯努利分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BernoulliDistribution.html

主題分類