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耿貝爾分佈

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Fisher-Tippett 極值分佈基本上有三種類型。最常見的是 I 型分佈，有時被稱為耿貝爾型或簡稱耿貝爾分佈。這些是對於 N 個元素 X_i 的分佈的極端次序統計量的分佈。在這項工作中，“耿貝爾分佈”一詞用於指代對應於最小值極值分佈的分佈（即，最小值 X^(<1>) 的分佈）。

位置引數 alpha 和尺度引數 beta 的耿貝爾分佈在 Wolfram 語言中實現為GumbelDistribution[alpha, beta].

它具有機率密度函式和分佈函式

P(x)=1/betaexp[(x-alpha)/beta-exp((x-alpha)/beta)]
(1)
D(x)=1-exp[-exp((x-alpha)/beta)].
(2)

均值、方差、偏度和超額峰度為

mu=alpha-gammabeta
(3)
sigma^2=1/6pi^2beta^2
(4)
gamma_1=-(12sqrt(6)zeta(3))/(pi^3)
(5)
gamma_2=(12)/5,
(6)

其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，zeta(3) 是阿佩裡常數。

ExtremeValueDistribution

從單位區間上的連續均勻分佈中抽取的 X^(<1>) 的分佈具有機率函式

P_N(x)=Nx^(N-1),
(7)

和分佈函式

D_N(x)=x^N.
(8)

第 k 階原點矩由下式給出

mu_k^'=N/(k+N).
(9)

前幾個中心矩為

mu_2=N/((N+1)^2(N+2))
(10)
mu_3=-(2N(N-1))/((N+1)^3(N^2+5N+6))
(11)
mu_4=(N(9N^2-3N+6))/((N+1)^4(N+2)(N+3)(N+4)).
(12)

因此，均值、方差、偏度和超額峰度由下式給出

mu=N/(N+1)
(13)
sigma^2=N/((N+1)^2(N+2))
(14)
gamma_1=-(2(N-1))/(N+3)sqrt((N+2)/N)
(15)
gamma_2=(6(N^3-N^2-6N+2))/(N(N+3)(N+4)).
(16)

如果 X_i 改為從標準正態分佈中抽取，則相應的累積分佈為

F(x)=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^xe^(-t^2/2)dt
(17)
=1/2+Phi(x),
(18)

其中 Phi(x) 是正態分佈函式。那麼 X^(<1>) 的機率分佈為

P(M_n<x)=[F(x)]^n
(19)
=n/(sqrt(2pi))int_(-infty)^x[F(t)]^(n-1)e^(-t^2/2)dt.
(20)

對於小的 n，均值 mu(n) 和方差 sigma^2(n) 可以用閉合形式表示,

mu(1)=0
(21)
mu(2)=1/(sqrt(pi))
(22)
mu(3)=3/(2sqrt(pi))
(23)
mu(4)=3/(2sqrt(pi))[1+2/pisin^(-1)(1/3)]
(24)
mu(5)=5/(4sqrt(pi))[1+6/pisin^(-1)(1/3)]
(25)

和

sigma^2(1)=1
(26)
sigma^2(2)=1-1/pi
(27)
sigma^2(3)=(4pi-9+2sqrt(3))/(4pi)
(28)
sigma^2(4)=1+(sqrt(3))/pi-mu^2(4)
(29)
sigma^2(5)=1+(5sqrt(3))/(4pi)+(5sqrt(3))/(2pi^2)sin^(-1)(1/4)-mu^2(5).
(30)

mu(6) 或 sigma^2(6) 沒有已知的精確表示式，但是有一個方程將它們聯絡起來

mu^2(6)+sigma^2(6)=1+(5sqrt(3))/(4pi)+(15sqrt(3))/(2pi^2)sin^(-1)(1/4).
(31)

另請參閱

極值分佈, 逆耿貝爾分佈

使用 探索

參考文獻

Gumbel, E. J. "多元極值分佈。" 國際統計學會公報 37, 471-475, 1960a.Gumbel, E. J. "多維極值分佈。" 巴黎統計研究所出版物 9, 171-173, 1960b.Gumbel, E. J. "二元 Logistic 分佈。" 美國統計協會雜誌 56, 335-349, 1961.Gumbel, E. J. 和 Mustafi, C. K. "二元極值分佈的一些分析性質。" 美國統計協會雜誌 62, 569-588, 1967.Johnson, N.; Kotz, S.; 和 Balakrishnan, N. 連續單變數分佈，第 2 卷，第二版。 紐約: Wiley, 1995.

在 中被引用

耿貝爾分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. "耿貝爾分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GumbelDistribution.html

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