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極值分佈

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Fisher-Tippett 極值分佈基本上有三種類型。最常見的是 I 型分佈，有時也稱為耿貝爾型或簡稱為耿貝爾分佈。這些是 N 個元素 X_i 的分佈的極值階統計量的分佈。

對應於最大極值分佈（即，最大值 X^() 的分佈）的 Fisher-Tippett 分佈，有時稱為對數 Weibull 分佈，其位置引數為 alpha，尺度引數為 beta，在 Wolfram 語言中實現為ExtremeValueDistribution[alpha, beta].

FisherTippettDistribution

它具有機率密度函式和分佈函式

P(x)=(e^((a-x)/b-e^((a-x)/b)))/b
(1)
D(x)=e^(-e^((a-x)/b)).
(2)

矩可以直接透過定義計算

z=exp((a-x)/b)
(3)
x=a-blnz
(4)
dz=-1/bexp((a-x)/b)dx.
(5)

那麼原點矩是

mu_n^'=int_(-infty)^inftyx^nP(x)dx
(6)
=1/bint_(-infty)^inftyx^nexp((a-x)/b)exp[-e^((a-x)/b)]dx
(7)
=-int_infty^0(a-blnz)^ne^(-z)dz
(8)
=int_0^infty(a-blnz)^ne^(-z)dz
(9)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)(-1)^ka^(n-k)b^kint_0^infty(lnz)^ke^(-z)dz
(10)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)a^(n-k)b^kI(k),
(11)

其中 I(k) 是尤拉-馬歇羅尼積分。代入尤拉-馬歇羅尼積分 I(k) 得到

mu_0^'=1
(12)
mu_1^'=a+bgamma
(13)
mu_2^'=(a+bgamma)^2+1/6pi^2b^2
(14)
mu_3^'=2zeta(3)b^3+1/2(a+bgamma)pi^2b^2+(a+bgamma)^3
(15)
mu_4^'=a^4+4a^3bgamma+6a^2b^2(gamma^2+1/6pi^2)+4ab^3[gamma^3+1/2gammapi^2+2zeta(3)]+b^4[gamma^4+gamma^2pi^2+3/(20)pi^4+8gammazeta(3)],
(16)

其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，zeta(3) 是 Apéry 常數。

因此，相應的中心矩是

mu_2=1/6b^2pi^2
(17)
mu_3=2zeta(3)b^3
(18)
mu_4=3/(20)b^4pi^4,
(19)

給出均值、方差、偏度和峰度超額為

mu=a+bgamma
(20)
sigma^2=1/6pi^2b^2
(21)
gamma_1=(12sqrt(6)zeta(3))/(pi^3)
(22)
gamma_2=(12)/5.
(23)

特徵函式是

phi(t)=Gamma(1-ibetat)e^(ialphat),
(24)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 930）。

中心極限定理的類似定理指出，M_n 的漸近歸一化分佈滿足以下三種分佈之一

D(y)=exp(-e^(-y))
(25)
D(y)={0 if y<=0; exp(-y^(-a)) if y>0
(26)
D(y)={exp[-(-y)^a] if y<=0; 1 if y>0,
(27)

也分別稱為耿貝爾型、弗雷歇型和威布林型分佈。

負 -y 的分佈也是極值分佈。負 -y 的耿貝爾型分佈在以下項中實現為GumbelDistribution[alpha, beta]。負 -y 的威布林型分佈是威布林分佈。雙引數威布林分佈實現為WeibullDistribution[alpha, beta].

另請參閱

尤拉-馬歇羅尼積分, 耿貝爾分佈, 順序統計量, 威布林分佈

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, 1972.Balakrishnan, N. and Cohen, A. C. 順序統計量與推斷。 New York: Academic Press, 1991.David, H. A. 順序統計量，第 2 版。 New York: Wiley, 1981.Finch, S. R. "Extreme Value Constants." §5.16 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 363-367, 2003.Gibbons, J. D. and Chakraborti, S. (Eds.). 非引數統計推斷，第 3 版修訂擴充套件版。 New York: Dekker, 1992.Johnson, N.; Kotz, S.; and Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Vol. 2, 2nd ed. New York: Wiley, 1995.Natrella, M. "Extreme Value Distributions." §8.1.6.3 in Engineering Statistics Handbook. NIST/SEMATECH, 2005. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section1/apr163.htm.

在 中引用

極值分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. "極值分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ExtremeValueDistribution.html

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