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中心矩


關於均值的單變數機率密度函式 P(x) mu_n ,其中均值 meanmu=mu_1^',

mu_n=<(x-<x>)^n>
(1)
=int(x-mu)^nP(x)dx,
(2)

其中 <X> 表示期望值。中心矩 mu_n 可以表示為原點矩 mu_n^' (即,關於零點取得的矩) 的項,使用二項變換

 mu_n=sum_(k=0)^n(n; k)(-1)^(n-k)mu_k^'mu_1^('n-k),
(3)

其中 mu_0^'=1 (Papoulis 1984, p. 146)。因此,用原點矩表示的前幾個中心矩是

mu_1=0
(4)
mu_2=-mu_1^('2)+mu_2^'
(5)
mu_3=2mu_1^('3)-3mu_1^'mu_2^'+mu_3^'
(6)
mu_4=-3mu_1^('4)+6mu_1^('2)mu_2^'-4mu_1^'mu_3^'+mu_4^'
(7)
mu_5=4mu_1^('5)-10mu_1^('3)mu_2^'+10mu_1^('2)mu_3^'-5mu_1^'mu_4^'+mu_5^'.
(8)

這些變換可以使用以下方法獲得CentralToRaw[n] 在 Mathematica 應用程式包中mathStatica.

中心矩 mu_n 也可以用累積量 kappa_n表示,前幾個例子由下式給出

mu_2=kappa_2
(9)
mu_3=kappa_3
(10)
mu_4=3kappa_2^2+kappa_4
(11)
mu_5=10kappa_2kappa_3+kappa_5.
(12)

這些變換可以使用以下方法獲得CentralToCumulant[n] 在 Mathematica 應用程式包中mathStatica.

多元機率密度函式 P(x_1,x_2,...) 的中心矩可以類似地定義為

 mu_(m,n,...)=<(x_1-<x_1>)^m(x_2-<x_2>)^n...>.
(13)

因此,

 mu_(n,0,...,0)=mu_n.
(14)

例如,

mu_(1,1)=-mu_(0,1)^'mu_(1,0)^'+mu_(1,1)^'
(15)
mu_(2,1)=2mu_(0,1)^'mu_(1,0)^'^2-2mu_(1,0)^'mu_(1,1)^'-mu_(0,1)^'mu_(2,0)^'+mu_(2,1)^'.
(16)

類似地,多元中心矩可以用多元累積量表示。例如,

mu_(1,1)=kappa_(1,1)
(17)
mu_(2,1)=kappa_(2,1)
(18)
mu_(3,1)=3kappa_(1,1)kappa_(2,0)+kappa_(3,1)
(19)
mu_(4,1)=6kappa_(2,0)kappa_(2,1)+4kappa_(1,1)kappa_(3,0)+kappa_(4,1)
(20)
mu_(5,1)=15kappa_(1,1)kappa_(2,0)^2+10kappa_(2,1)kappa_(3,0)+10kappa_(2,0)kappa_(3,1)+5kappa_(1,1)kappa_(4,0)]+kappa_(5,1).
(21)

這些變換可以使用以下方法獲得CentralToRaw[{m, n, ...}] 在 Mathematica 應用程式包中mathStaticaCentralToCumulant[{m, n, ...}],分別。


另請參閱

絕對矩, 累積量, 峰度, , 原點矩, 樣本中心矩, 偏度

使用 探索

參考文獻

Kendall, M. G. "The Derivation of Multivariate Sampling Formulae from Univariate Formulae by Symbolic Operation." Ann. Eugenics 10, 392-402, 1940.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. "Moments About the Mean." §7.3 in Mathematics of Statistics, Pt. 1, 3rd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 92-93, 1962.Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 146, 1984.Smith, P. J. "A Recursive Formulation of the Old Problem of Obtaining Moments from Cumulants and Vice Versa." Amer. Stat. 49, 217-218, 1995.

在 上被引用

中心矩

請引用為

Weisstein, Eric W. “中心矩。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CentralMoment.html

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