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樣本中心矩

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第 r 階樣本中心矩 m_r，對於樣本容量為 n 的樣本，定義為

m_r=1/nsum_(k=1)^n(x_k-m)^r,
(1)

其中 m=m_1^' 是樣本均值。前幾個樣本中心矩與冪和 S_k 的關係為

m_1=0
(2)
m_2=-(S_1^2)/(n^2)+(S_2)/n
(3)
m_3=(2S_1^3)/(n^3)-(3S_1S_2)/(n^2)+(S_3)/n
(4)
m_4=-(3S_1^4)/(n^4)+(6S_1^2S_2)/(n^3)-(4S_1S_3)/(n^2)+(S_4)/n
(5)
m_5=(4S_1^5)/(n^5)-(10S_1^3S_2)/(n^4)+(10S_1^2S_3)/(n^3)-(5S_1S_4)/(n^2)+(S_5)/n.
(6)

這些關係可以由下式給出SampleCentralToPowerSum[r] 在 Mathematica 應用程式包中mathStatica.

就總體中心矩而言，前幾個樣本中心矩的期望值為

<m_2>=((n-1)mu_2)/n
(7)
<m_3>=((n-1)(n-2)mu_3)/(n^2)
(8)
<m_4>=((n-1)[3(2n-3)mu_2^2+(n^2-3n+3)mu_4])/(n^3)
(9)
<m_5>=((n-1)(n-2)[10(n-2)mu_2mu_3+(n^2-2n+2)mu_5])/(n^4).
(10)

另請參閱

中心矩, 原點矩, 樣本, 樣本均值, 樣本原點矩, 樣本方差

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參考文獻

Rose, C. 和 Smith, M. D. 《Mathematical Statistics with Mathematica》。紐約：Springer-Verlag，第 251 頁，2002 年。

在 上被引用

樣本中心矩

請引用為

Weisstein, Eric W. “樣本中心矩。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SampleCentralMoment.html

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